劉應興的部落格

傅立葉變換 (Fourier transform) 常簡寫 FT，對一 k 變數實數值或複數值函數 f(x) 而言，基本定義是

F(f)(t) = ∫_{R^k} e^{-2πi(t'x)} f(x) dx

其中 i 是虛數單位，也常見用 j 代替。另外可定義一個類似轉換

對於有等號限制式的極值問題，如

maximize f(x)

subject to g(x) = 0

對線性方程組 Ax = b，其中 A 是 m×n 矩陣，x 是 n×1 行向量，b 是 m×1 行向量，如果 m = n，A 可逆 (invertible)，則 x = A^{-1}b 是唯一解；但 A 不可逆，甚至 m≠n 時，x 不一定有解，一般而言，x 可能無解、唯一解、或無窮多組解。用矩陣基本列運算 (elementary row operation)，或相當於高斯消去法 (Gaussian elimination)，有解的線性方程組 Ax = b 等價於方程組 y + (A*)z = b*，其中 y, z 是 x 分割成兩部分（可能要加上順序重整），若沒有 z 部分，就是 y = x，相當於增廣矩陣 (augmented matrix) [ A  b ] 經一連串基本列運算後，前 n 個非零列為 [ I  b* ]。令 P 為這些基本列運算對應的基本矩陣 (elementary matrix) 的乘積，則

[ I  b* ] = [ I  0 ] P [ A  b ]

或即 [ I  0 ] P 從左邊乘上 A 得單位矩陣 I，我們稱矩陣 [ I  0 ] P 是 A 的左逆（左反，left inverse）矩陣，記為 A^L = [ I  0 ] P。若 A 有左逆矩陣 A^L，上述線性方程組的解似乎因此變成 x = A^L b。但

費波那西 (Finboacci) 數，中譯太多，無非都是音譯，所以不如直接用 Fibonacci 數。它是指由

F(n) = F(n-1) + F(n-2),   F(1) = 1 = F(2)

定義的一個數列。也有人從 F(0) = 0，F(1) = 1 開始；也可以把它反向推導，

一個國2的題目. . .

           n^2         n-1  (j+1)^2-1
原式 = Σ  1/√k = Σ       Σ       1/√k   +   1/n

前幾天看到一個問題：

lim_{x→0+} √x = 0
lim_{x→0+} √(x + √x) = 0

矩陣 A 之特徵值 (eigemvalue) 是指一純量 λ，存在一非零向量 x 使 Ax = λx。由此定義可知：談特徵值時，矩陣必須是方陣。特徵值的概念可以擴充至線性變換 T，存在一非零向量 x 使 T(x) = λx。同樣 T 必須是在一個向量空間 V 上的線性變換，而不是一般 U 到 V 的線性映像。與特徵值相對應的非零向量 x 稱為特徵向量 (eigenvector)。若 x 是對應特徵值 λ 的特徵向量，則其任意非零純量倍 cx 也是對應特徵值 λ 的一個特徵向量；若 x, y 都是對應特徵值 λ 的特徵向量，則其和也是。因此，對應特徵值 λ 的所有向量與零向量構成 V 的一個子空間，稱為特徵空間 (eigenspace)。特徵值也簡稱徵值，或稱特性值 (characteristic value) 或特性根 (characteristic root)，為特性方程式 (characteristic equation) det(tI-A) = 0 之根，或待性多項式 (characteristic polynomial) det(tI-A) 之零位 (zero)，所以特徵向量也稱特性向量 (characteristic vector)。

特徵值、特徵向量及特徵空間，它們究竟什麼意義呢？首先，佈於 K 的一般 m×n 矩陣可以代表 K^n 至 K^m 的線性映射 (linear mapping) 或譯線性映像，而 n 階方陣就是 K^n 至本身的線性映射，也稱其為在 K^n 上的線性變換 (linear transformation) 或線性算子 (linear operator)。特徵值要求非云向量 v 使

T: v → Av = λv

把總和式一般化，我們考慮：

S = 1/(1+√a^n) + 1/(a+√a^n) + ... + 1/(a^n+√a^n)

把 √a^n 寫成‵ a^{n/2}, 一般項是

有一個影片說 1^x = 2 有解。其解法是：

因 1 = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = e^{i(2kπ)}  for 整數 k

1^x = 2  ==>  ㏒(1^x) = ㏒(2)  ==>  ㏒(e^{i(2kπ)x}) = ㏒(2)

前文談到一個「有趣的」問題：x^(x^(x^...)) 等於多少？結果是：x 只‵能在某個 x0 > 0 至 e^(1/e) 之間，此式才「有意義」。意思是：如問題中無窮個乘冪，如同無窮個加總（級數）、無窮個連乘式一般，應考慮其前 n 項運算構成的序列，或說其運算結果數列，此部分運算結果數列有極限，無窮個乘冪運算式才是有意義的。以 x^(x^(x^...))) 一例而言，只當 x 介於某個 x0 至 e^(1/e) 之間才能得到收斂結果（其中 x0 經試誤計算結果可能約在 0.06598804 附近）。此時 y = x^(x^(x^...)) 可表示為 y = f(x), x0 < x ≦ e^(`1/e)，是 g(x) = x^(1/x), z0 < x ≦ e 之反函數，x0 = z0^(1/e0)。也就是說：令

y(1) = x,   y(n+1) = x^y(n) for n = 1, 2, 3, . . .

當 x0 < x ≦ e^(1/e) 時得 y = f(x) = lim_n y(n)。

x^(x^(x^...)) = ?

設 y = x^(x^(x^...)) , 則 y = x^y。

故 x = y^(1/y)。

在微積分中，我們談的積分叫黎曼積分 (Riemann integral)，它和「微分」就像數值的加法乘法和減法除法一樣。在機率論和實變分析 (real analysis) 中，積分卻是以勒貝格積分 (Lebesgue integral) 為主。

黎曼積分，就其原始意義來說，應是求面積的一個方法。給予一個非負函數曲線 y = f(x), a ≦ x ≦ b，由界限 x = a, x = b, 橫軸 (x 軸), 函數曲線 y = f(x) 所圍成的區域，若「可計算面積」，則其面積是：

面積 = ∫_a^b f(x) dx

剛才看到一個老問題的解題影片：

已知 a + 1/a = 1 求 a^1995 + 1/a^1995

其解是由 a + 1/a = 1 得 a^3 = -1, 而 a^1995 = (a^3)^665 = -1, 故 a^1995 + 1/a^1995 = -2。

註：今(2023.5.15)發現：似乎現在乘式定義改了！

　　早上先是查了英文網頁，發現 2 × 3 是 3 + 3  的意思；

　　剛才又查了中文網頁，發現竟然中西定義不同!

如果有一個問題，要找 f(x,z) 之極值（極大、極小）, 條件是 x, y 滿足 g(x,y) = 0，微積分中兩個方法，一是解出 z = h(x) 或 x = h(z)，代入 f，變成單變量函數；另一種方法是所謂 Lagrange 乘數法：令

F(x,z,λ) = f(x,z) - λg(x,z)

而後對 x, z, λ 偏微以尋找所謂臨界點或平穩點，而結果 f 函數值是極大或極小用所謂 bordered Hessian （鑲邊 Hessian）來判斷。

設 {a_n, n=1,2,...}  是一個正數序列, S_n= Σ_{k=1~n}a_k, 問 Σ_{n=1~N} a_n/S_n 會是什麼模樣？

本文將此級數稱為「類對數」, 因為設 a_n ≡ 1, 則 S_n = n, Σ_{n=1~n} a_n/S_n ～ ㏒(S_n} = ㏒(n), 此處 ㏒ 為自然對數，符號 An~Bn 表示 lim An/Bn = 1。類比於連績型問題，a_n 類比正值函數 f(x)，S_n-S_1 類比於 f(x) 在 [1,x] 的積分 F(x) = ∫_{1≦t≦x] f(t) dt，Σ_{n=1~N} a_n/S_n 類比於積分 ∫_{[1,N]} f(x)/F(x) dx = ㏒ F(N) - ㏒ F(1)。回到我們的問題，如果 a_n = n，則 S_n = n(n+1)/2，故

　　Σ_{n=1~N} a_n/S_n = Σ_{n=1~N} 2/(n+1) ~ 2(㏒(N+1) - ㏒2)~  ㏒(N(N+1)/2)

有 n 個人分蛋糕，怎麼分才能人人覺得滿意？

這問題的基本假定是：其一，每個人都想分到最大塊的蛋糕；其二，每個人對蛋糕大小的評判是主觀（且固定）的；其三，每個人都可以精確切出任意他所要大小的蛋糕。

整個蛋糕，我們用一個宇集 S 表示；一塊蛋糕，用一個子集 A 表示，各人對蛋糕大小的評判，用測度 μi(A) 表示，並假設 μi(S) 都是 1。

又稱理髮師悖論 (barber paradox)，（悖論 (paradox) 也譯詭論、奇論）：某城裡一個理髮師宣稱他將給城裡所有不自己刮臉的人刮臉，也僅為不自己刮臉的人刮臉。疑問是：理髮師為不為自己刮臉？很容易發現不論理髮師為不為自己刮臉都會產生矛盾。

羅素不是閒極無聊地管起理髮師的問題，他只是用來比喻集合的描述性定義：{x : P(x)}, 其中 P(x) 是一個邏輯語句，將造成矛盾。實情是：如果 P(x) 是

x not in x (or: x not belong to x)

集合的大小可能不是重要的課題，不過有時它也是一個被關心的課題。排列組合可說就是關於集合元素個數的算術，測度論是以一個宇集 (universal set) 為基礎討論如何賦予其子集一個「大小」測度的課題。本文要談的，所謂集合大小類似排組數學中的元素個數，只是真正的重點在元數個數是無限的情形。

我們知道空集合 { } 沒有任何元素，或說有 0 個元素；{1}, {a}, {{}} 都是含有一個元素。我們可把一個集合有幾個元數稱之為此集合的「基數 (cardinal number)」, 集合 A 的基數可以用 #A 來表示，兩集合 A, B 有一樣多的元素，也就是兩集合基數相等，#A = #B。如果 A, B 是有限集合，也就是 #A, #B 是有限值，則 #A = #B 的充要（充分且必要）條件是存在 A, B 之間一個一對一且映成 (one-to-one and onto) 的函數 f: A → B。因此，如果存在 A → B 的一對一函數，就是 #A ≦ #B。那如果集合的元素個數無限呢？直接用一個 ∞ 表示嗎？集合論不這麼看待，例如自然數集 N = {1,2,3,...} 或 (0,1,2,...} 與實數集 R 就是有不同的基數，或說其「勢 (cardinality)」不同。為此，我們定義何謂兩個集合有相同基數或相同的勢：

　　兩集合 A, B 之間若存在一個一對一且映成的函數 f: A → B,

幾十年前曾在一本代數的書（內容主要但不限於是線性代數）上看到過「張量 (tensor)」；當然在此前後知道張量是物理中的重要概念，只是物理中的張量是什麼東西我並不清楚，即使看過前述數學定義，也不知二者的關係或差異。近日有朋友談及「張量場」，網路上查了一下介紹的文章，結果感覺有些混淆，就丟在一邊；今又重看，並多看了幾篇介紹的文章，算是有些感悟，且為記。

從抽象的，或說一般性的觀點，首先要有一個所謂「體 (field）」的東西，用在線性代數中稱為「純量體」，以 K 表示。如實數體 R，複數體 C，有限體如同餘體 Zp。在抽象代數上 K 是一個集合上面配備兩種二元運算 (binary operator) 稱為「加法」和「乘法」滿足一堆條件（詳見抽象代數的書，或有些線性代數的教本也會定義）。其次需要一個向量空間，這又是一個集合 V 上面配備一個所謂「（向量）加法」二元運算和 V 與 K 的「純量倍」運算，當然其間又是一堆條件要滿足（詳見線性代數教本）。

不同向量空間之間可以定義函數 f: V → U，線性代數中感興趣的是「線性映射 (linear mapping)」; K 本身也可以看成是一個向量空間，因此也可以定義 V 映至 K 的線性映射。這種線性映射有個特別稱呼，叫「線性泛函 (linear functional)」。V 映至 U 的所有線性映射本身配備函數加法及函數純量倍也構成一個向量空間；特殊地說，V 上的所有線性泛函也構成一個向量空間，稱為 V 的「對偶空間 (dual space)」, 以 V* 表示，其元素也稱共變或協變 (covariant) 向量，或稱餘向量 (co-vectors) 或 1-form 。V** 和 V 之間有一個自然的對應，如果在有限維的 V，V 和 V** 之間的自然對應是一對一而且映成的，或更進一步說它們之間是同構的 (isomorphism)。所以在張量術語中，V 的元素也被稱為反變或逆變 (contravariant) 向量。