劉應興的部落格

註：今(2023.5.15)發現：似乎現在乘式定義改了！

　　早上先是查了英文網頁，發現 2 × 3 是 3 + 3  的意思；

　　剛才又查了中文網頁，發現竟然中西定義不同!

　　如此一來，爭議 a × b 是否能寫成 b × a 變成笑話了。不過，爭議仍在 . . . 也因此我才上網查定義。

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本文不是談教育，對目前課程綱要也不清楚，但相信仍有不少人為兩個數相乘順序能不能對調有所爭議，也就是說：

甲 × 乙  能否寫成  乙 × 甲

至少近日筆者個人仍見到相關的意見。這裡不談爭議雙方，只談個人的意見：看情形而論。

小學的算術，現在好像是叫數學，是怎樣定義乘法的？一開始是正整數的乘法吧？後面才把計算式推廣到分數、小數。3 × 2  的意思是 3 的 2 倍，和 2 × 3 是不同的意思，到後面分數、小數的乘法，也很注意區分被乘數和乘數，或者可以說：此時乘法運算仍不脫「倍數」的觀念。因此，如果一個問題的想法應該是計算式 3 × 2，那麼寫 2 × 3 = 6 是不是正確回答呢？個人的看法是：如果只要求答案，那麼寫 3 × 2 = 6 或 2 × 3 = 6 都沒錯，甚至只寫個 6 就可以；但是如果教育或說教學不是只看答案，就需要問問以 2 × 3 當計算式的答題者究竟是怎麼想的了。

到中學的「代數」，或稱「大代數」，情形又有些不同，其「習慣性」寫法可說是顛倒了被乘數和乘數的關係。習慣上，a × 2 = 2a，而 "2a" 也被解讀成「a 的 2 倍」而不會說是 2 的 a 倍；在一般寫算式時，a × b 和 b × a 也不區分。這是什麼緣故呢？在小學，為什麼以前叫「算術」，個人以為，那是初學計算，是學習計算方法，所以兩個數相乘是什麼意思必須弄清楚。所以

甲數 × 乙數 = (乙數)個(甲數)的總和

特別是整數相乘時，那意思是很明白的；若分數相乘，

a × n/m = (a × n) ÷ m  或 (a ÷ m) × n

筆者不記得當初怎麼學的，更不知現今又是怎麼教的，不過還記得未讀過書不識字的先母如何口唸計算的，例如某物價格一斤(台斤)價 120，問一斤五兩值幾何？口唸算：

一斤120；又一兩7塊5，五兩37塊5。合計157塊5。

寫成算式就是

120 × (1又5/16)  = 120 + (120 ÷ 16 × 5) = 157.5

小學就是啟蒙，「數學」在小學也是啟蒙，至少在筆者那個年代著重計算的啟蒙，所以稱算術。還記得當時許多問題的計算還帶單位的，加法是相同單位相加，乘法是「帶名數」乘以「無名數」，帶名數（有數量單位的數）是被乘數；無名數是倍數，是乘數。當然後來談到面積體積的計算，乘數就不是無名數了，這時的乘法其實也可說是脫離了倍數的概念，或者說是

長 × 寬 × 高   或   寬 × 長 × 高   或   高 × 寬 × 長   . . .

都無所謂，也都解釋得通。

從小學算術至後來的數學，我基本上都不背公式，都是去理解。小學的「應用題」，什麼雞兔同籠、植樹問題、船速問題等，就是靠著理解解題而不強記公式。理解就是從基本觀念開始，所以被乘數乘數不會搞亂，混合四則運算不會搞亂。曾有一故事，擅自更改後如下：

問：每輛車 4 個輪子，5 輛車共幾個輪子？

答：5 × 4 = 20

評： 這是個天才。

我愚蠢不靈完全不能體會，天才就是一切出脫常人思考？正常思考不該是 4 × 5 = 20？故事中有一解釋：

車子四輪分前後左右，左前輪 5 個，右前輪 5 個，. . .

哦？這是真天才，腦子特靈活，天才之想，或是強辯？若要強辯，我也可說該解錯了！

車子並未說哪種車子, 4 個輪子亦未說是分前後左右.如小孩子學騎用
的腳踏車兩輪外加兩輔助輪, 摩托車外掛載客廂也可能有 4 輪. 5 輛
車不必相同, 只是恰好各有 4 個輪子, 那總共是 4 的 5 倍還是 5
的 4 倍?

或謂：中學不是 ab = ba 說 a 的 b 倍或 b 的 a 倍皆可嗎？似乎也對？然而用「（被乘數）的（乘數）倍」來解釋乘法是錯了，是不應該嗎？

到大學，雖然數的運算已抽象化，也常 ab 和 ba 視為相同，但這時是「數，已抽象化」，「數的乘法，符合交換律」。而這些性質，或被當作定義條件（直接定義數，實數，乘法滿足交換律）；或是需要證明（從定義自然數系開始，逐步擷增至實數系）。當我們確認這些「事實」後，才能自然而然地把 ab 和 ba 等同，而且這時通常我們只是把它看成一個乘積，而不是有特殊意義的計算式。所以前面對於 a × b 寫成 b × a 的個人意見，認為是只要答案，或是要計算（思考）過程的分別。

從數的擴展來說，首先是自然數，假設我們定義：

m × 1 = m
m × (n+1) = m × n + m

那麼要怎麼證明 m × n = n × m？首先證明 × 對 + 的分配律：

對所有自然數 p, q, n，都有 (p + q) × n = p × n + q × n

[證］

n = 1 時
(p + q) × 1 = p + q = p × 1 + q × 1
設 n = k 時成立, 則 n = k+1 時,
(p + q) × (k + 1)
    = (p + q)×k + (p + q)×1
    = (p × k + q × k) + (p + q)
    = (p × k + p) + (q × k + q)
    = p × n + q × n

現在可證明乘法交換律：

1 × n = n = n × 1
當 n = 1 時對;
設 n = k 時對, 則
1 × (k+1) = 1 × k + 1 = k + 1 也對

設 m = k 時 m × n = n × m
則 m = k+1 時,
m × n = (k+1) × n = k × n + 1 × n
    = n × k + n = n × (k + 1) = n × m

而後應用交換律可得分配律的另一半：

　　m × (p + q) = (p + q) × m = p × m + q × m = m × p + m × q

在上面的證明中，我們用到了自然數加法的結合律和交換律，我們假設那些都是已證明了的。另外，自然數系有兩種定義，一種是包括了 0 這個數，一種是從 1 開始。如果 ０ 在自然數系中，則自然數加法的定義是從 n + 0 = n 開始；否則 0 也要被定義為 n + 0 = n。於是，我們可以證明

m × 0 = 0 = 0 × m

在此之前要先將 0 引入自然數系的乘法，要求它符合左右分配律，所以

n × m + 0 = n × m = (n + 0) × m = n × m + 0 × m

m × n + 0 = m × n = m × (n + 0) = m × n + m × 0

或者，如果直接規定 m × 0 = 0 × m = 0，則涉及 0 時乘法對加法的分配律也得證，也就是說 「0 在乘法運算是 "湮滅元"」和 「0 參與運算符合分配律」是互為充要條件，二者之一可當做 0 參與自然數乘法運算的定義。

有了涉及 0 的加法、乘法運算之後，數系可擴充到整數系：引入負整數，並定義其運算，並證明加法符合交換律、結合律、0 是其單位元素；乘法同樣符合交換律、結合律、１ 是其單位元素、0 是其 "湮滅元"，並且乘對加符合分配律。所有這些運算性質，當數系擴展至有理數（比例數）系時要再證明一次；數系擴展至實數系、複數系時都要重新證明，不證明如何能保證它們成立？例如在正數中指數律

(a^r)^s = a^(rs)

其中 r, s 為有理數，若 a 從正實數擴展到任意實數就行不通了。

當數系擴展至全整數系時，加法運算多了一個名詞：加法反元素；擴展至有理數時，乘法也多了乘法反元素。

若 r = q/p ≠ ０ 是有理數，則存在乘法反元素 s 使 rs = sr = 1.

證明很簡單，因 q/p ≠ 0 也就是整數 q ≠ 0，取 s = p/q 即得。而在實數，若 r ≠ 0 是一個實數，取非零有理數序列 r_n → r, 則 1/r_n 也是非零有理數，列收斂至 s，則 rs = sr = 1。於是我們可以證明：

     在實數系不存在零因子 (zero factor)，也就是說 ab = 0 則 a = 0 或 b = 0.

     [證] 若 ab = 0 且 a ≠ 0，則 b = (1/a)ab = (1/a)0 = 0。

在複數系這也成立：設 a, b 為複數，若 ab = 0 則 a = 0 或 b = 0。在整數系及自然數系，不存在零因子當然也是對的。

事情不是總那麼美好，例如考慮矩陣運算，即使限制在同階方陣，ＡＢ通常並不等於ＢＡ；Ａ，Ｂ非零也不保證ＡＢ或ＢＡ非零。不只矩陣，所有整數除以一特定正整數 p 其餘數 0, 1, ..., p-1 構成整數的一個「同餘班」，我們可在上面定義加法乘法，幾乎如同在整數系運算一般，然而，如果 p 不是質數，這如同整數一般的運算卻存在零因子，例如 p = 6, 則 2 × 3 = 0 = 3 × 4。

所以，a × b = b × a 似乎理所當然，卻又不一定真的理所當然，而其運算的意義，倍數的觀念，又揭示了兩者的不同。就教育或教學來說，你認為算式的正確是不是重要？或者你認為 a × b 不一定隨俗地認定它是「 a 的 b 倍」, 它也可以是「 b 的 a 倍」？