劉應興的部落格

剛才看到一個老問題的解題影片：

已知 a + 1/a = 1 求 a^1995 + 1/a^1995

其解是由 a + 1/a = 1 得 a^3 = -1, 而 a^1995 = (a^3)^665 = -1, 故 a^1995 + 1/a^1995 = -2。

原條件等價於 a^2 - a + 1 = 0, 直接解二次方程式得 a = 1/2 ± i(√3)/2, 用複指數形式表示，為

a = e^{±i(1/3)π} = cos(±(1/3)π) + i sin(±(1/3)π)

故 a^n = e^{±i(n/3)π}, a^(-n) = e^{-[±i(n/3)π]}, 故

a^n + 1/a^n = 2 cos((n/3)π)

另法，設 y(n) = a^n + 1/a^n, 則

y(n)y(1) = (a^n+1/a^n)(a+1/a)
         = a^(n+1)+1/a^(n+1)+a^(n-1)+1/a^(n-1)
         = y(n+1) + y(n-1)

因 y(1) = 1, 故得二階遞迴式

y(n+1) = y(n) - y(n-1)

而初值 y(1) = 1, y(2) = -1，結果將得一循環數列

y(n) = 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, -1, ...