劉應興的部落格

在微積分中，我們談的積分叫黎曼積分 (Riemann integral)，它和「微分」就像數值的加法乘法和減法除法一樣。在機率論和實變分析 (real analysis) 中，積分卻是以勒貝格積分 (Lebesgue integral) 為主。

黎曼積分，就其原始意義來說，應是求面積的一個方法。給予一個非負函數曲線 y = f(x), a ≦ x ≦ b，由界限 x = a, x = b, 橫軸 (x 軸), 函數曲線 y = f(x) 所圍成的區域，若「可計算面積」，則其面積是：

面積 = ∫_a^b f(x) dx

若改成：介於 y = f(x) 與 y = g(x) 之間的面積，且 f(x) ≧ g(x) for all a ≦ x ≦ b，則

面積 = ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx

若考慮一封閉曲線環繞區域的面積，假設此封閉區域在 x 軸上最小是 x = a, 最大是 x = b, 而在 x = a 處曲線上的點是 (a,u), 在 x = b 處則是 (b,v)。又假設此封閉區域上面是 y = f(x) 曲線，下方是 y = g(x) 曲線，故

f(a) = u = g(a);  f(b) = v = g(b).

則此區域面積就是 ∫_a^b (f(x)-g(x)) dx，當然，必須「可以計算」。

在黎曼積分，什麼是「可以計算」? 在兩函數曲線的情形，我們要求 ∫_a^b f(x) dx 和 ∫_a^b g(x) dx 都可以計算。這裡的意思並不是說 ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx 可以計算必須是前述兩個別函數的「積分」可以計算，而是指：由 y = f(x) 與 y = g(x) 兩曲線所夾的區域「面積可以計算」的意義是兩個積分可以計算。至於 f(x) - g(x) 是一個新的單一函數，如果前述 f(x) 和 g(x) 的積分都可以計算，那麼 f(x) - g(x) 的積分也將可以計算，這算是黎曼積分的基本性質之一。

當然，還有一個問題：前面把 ∫_a^b f(x) dx 解釋成 y = f(x) 之下，x 軸之上的區域面積，那如果在某一段 f(x) < 0 要怎麼辦？很幸運的，計算面積的方法給了我們順乎自然的答案。暫且不說它，先假設在 [a, b] 範圍 f(x) 一直非負，也就是曲線 y = f(x) 一直在 x 軸之上。計算面積的方法就是：把 [a, b] 區間切割：

P: a = x_0 < x_1 < . . . < x_n = b

然後在各子區間 [x_{i-1}, x_i], i = 1, ..., n 取點 T: t_i, i = 1, ..., n, 接著計算

S(f, P, T) = Σ f(t_i) (x_i - x_{i-1})

這稱為 f 在分割點集 P = {x_1, ..., x_{n-1}} 及選點規則 T  = {t_1, ..., t_n} 之下的黎曼和。如果另一個分割（點集）P' 是在 P 中加入一些分割點，就說 P' 是 P 的細分。當然兩個分割 P, P' 不一定有細分關係，那麼可以取 P" = P∪P'，則 P" 同時為 P 與 P' 的細分。另外，對一個分割 P, 可以定義

||P|| = max {x_i-x_{i-1}: i = 1, ..., n}

稱為分割 P 的模。現在我們可以定義什麼叫「可計算」，那就是：

對任一個細分的分割序列 P_1 ＜ P_2 < . . . 使 ||P_n|| → 0
得 lim_n S(f,P,T) = S 與分割法及選點法無關，則稱 f(x) 在
[a, b] 可積分，並且 ∫_a^b f(x) dx = S 為積分值。

如果 f(x) 非負，上列積分的定義就是先前說的求曲線下面積的逼近方式，所以積分式就是求面積公式。如果 f(x) 非正，那麼 -∫_a^b f(x) dx 等於求 y = f(x) 上方，x  軸下方面積的公式。所以在 y = f(x) 不與 x 軸相交的情況，∫_a^b f(x) dx 等於「帶正負號的面積」，正表 x 軸上曲線下；負表 x 軸上曲線下。那麼如果 y = f(x) 與 x 軸有若干交點，我們分段看，x 軸上是正面積 x 軸下是負面積，所以加總的結果就是 f(x) ≧ 0 部分的正面積與 f(x)≦ 0 部分負面積的代數和（兩部分面積絕對值的差）。

對一個特定分割 P，黎曼和 S(f,P,T) 是和選點 T 有關的，而 f 在 [a, b] 的積分，黎曼和的極限值則必須與各分割中選點方式無關，這就意味在分割細分至 ||P|| 很小時，f(t_i) 的不同選擇差距效果必須消失：

Σ |f(t_i) - f(t'_i)| (x_i - x_{i-1}) → 0

因此，

Σ |sup(f(t_i))- inf(f(t_i))|  (x_i - x_{i-1}) → 0

所以黎曼積分可以 Darboux 的上和 (upper sum) 與下和 (lower sum) 的極限來定義，也就是 f(t_i) 分別以

M_i = sup {f(x), x_{i-1}, ≦ x ≦ x_i},  m_i = inf {f(x), x_{i-1}, ≦ x ≦ x_i}

代替，得上和 U(f,P) = Σ M_i (x_i-x_{i-1}) 與下和 L(f,P) = Σ m_i (x_i-x_{i-1})。考慮逐一更細分的序列 P_n, n = 1, 2, ..., 則上和與下和都會收斂，極限值與分割序列無關，只要 ||P_n|| → 0。不過，上和的極限，稱為上積分 (upper integral)，與下積分，下和的極限卻不一定一致。

若 f(x) 在 [a, b] 的上、下積分相等（且有限），則稱 f(x) 在 [a, b] 可積分。

黎曼積分的定義首先要求 [a, b] 是有界閉區間，也就是端點 a, b 是有限實數；其次 f(x) 在 [a, b] 必須有界，否則黎曼和和上下和就爆掉（±∞）了，這是不允許的。為此，有一推廣方向是允許 a → -∞ 或 b →∞；另一方向是允許奇點 (singular point) 的在在。這些通稱瑕積分 (improper integral)，或瑕積分專指第二類而把第一類稱為無窮（範圍的）積分。此外，黎曼積分還有一種擴展方向是把黎曼和換成

Σ f(t_i) (α(x_i) - α(x_{i-1}))

由於可能有不連續點問題，上列極限表示為

∫_{a+}^b f(x) dα(x) = lim_{||P||→0} Σ f(t_i) (α(x_i) - α(x_{i-1}))

較適當。此極限結果稱為 Stieltjes 積分，或因與黎曼積分的定義方式一致，亦稱為 Riemann-Stieltjes integral。Riemann-Stieltjes 積分要求 f(x) 與 α(x) 不能有相同的不連續點，因為如果有相同不連續點，上列極限將不存在。也就是說，在 α(x) 的不連續點，f(x) 必須連續，或修改 f(x) 的定義使其連績。當 α(x) = [x]，不超過 x 的最大整數時，

∫_{a+}^b f(x) d[x] = Σ_{i in Z: a < i ≦ b} f(i)

式中 Z 表整數集。如果 f(x) 本來只在整數點有定義，要用 Stieltjes 積分表示，則必須在各整數點附近延伸 f(x) 的定義，例如 f(x) = f(i) 當 i-1/2 < x ≦ i+1/2。

就 f(x) 的積分 ∫_[a, b] f(x) dx 而言，若此積分式不是上面所談的黎曼積分，而是勒貝格積分，則可能黎曼積分不存在（不可積）而勒貝格積分存在，例如

f(x) = 1  if  x in [0,1] 且 x is irrational;   = 0  if  x in [0,1] 且 x is rational

為什麼會這樣？勒貝格積分究竟怎麼定義？事實上勒貝格積分與測度論中的積分或機率論中的期望值類似，可參考「期望值與連續型分布群體之順序統計量」一文。首先，在實數線上定義一種基於線段長度的測度 (measure)，稱為勒貝格測度 (Lebesgue measure)， 以 λ 表示。做為測度，它必須滿足：

(1) 非負：對任意可測集 E, λ(E) ≧ 0;

(2) 空集合的測度是 0: λ(φ) = 0;

(3) σ-相加性：若 En, n = 1, 2, ... 兩兩互斥，則 λ(∪ En) = Σ λ(En).

勒貝格測度多了一個條件：

λ((a,b]) = b - a, 其中 a < b 且 a, b 均為實數。

上列關於一般測度以及勒貝格測度的條件蘊涵了：(a,b] 必須可測，以及一般的：

(1) 空集合 φ 可測；

(2) 若 En, n = 1, 2, ... 可測且兩兩互斥，則 ∪ En 可測。

在談一個測度和可測集時，我們都是在一個宇集 S 上談的，也就是機率論中的樣本空間 (sample space)，此處的實數線 R。由於是在一個宇集上談，∪ En 才有意義。不過，上面的條件仍不完整，例如若 E, F 可測，那麼 E∪F, E∩F, E∩F'（F' 為 F 之補集）等等是否可測呢？就勒貝格測度的要求而言，左開右閉的半開區間是可測，但是其他類型區間，單點呢？實際上在機率測度中我們有 E 事件，還需要其「餘事件」E'；Ｅ, F 是事件我們需要 E∪F 及 E∩F 都是事件。對一般測度來說也是，所以一個比較完整的系統要求：

(1) φ 可測，S 可測（要極小化假設的話，這兩個取其一即可）；

(2) 若Ｅ 可測，則 E' 可測；

(3) 若 En, n = 1, 2, ... 可測，則 ∪ En 可測。

宇集 S 的一個子集合族 F 若其中的元素（S 的子集）滿足上列條件，就說 F 是一個 σ-體 (σ-field, 或譯 σ-場)。由於 ∩ En = (∪ En')'，因此可數個可測集的交集也是可測的。就勒貝格可測的要求來說，

{x} = ∩ (x-1/n, x]

因此單點集都是可測的，類似可證明各類型，有界或無界，的區間都是可測的。

關於勒貝格測度及可測集的進一步討論不是本文的範疇，這裡要談的是勒貝格積分。與黎曼積分不同的，我們對積分範圍的限制只有：必須在可測集上——不一定是區間。而對 f(x)，我們的要求也是：必須可測。甚麼是函數 f 可測？由於這裡只談單變量的實數值函數，也就是說 f 是從 R 映至 R 的函數。說 f(x) 是可測函數，是指

{ x in R: f(x) in B, B 可測 } 是一可測集

意思就是說：被 f 映至可測集的前象 (pre-image) 本身也是可測的。注意 A = f^{-1}(B) 並不表示 B = f(A)，所以 f 並不一定把可測集映成可測集；但映至可測集的所有點所形成的集合必須是可測的。

勒貝格積分是一個勒貝格可測函數在一勒貝格可測集上的積分，其積分定義也是分割、加總、極限。但分割方式與黎曼積分不同。如果考慮 f(x) 在 A 集合上的積分，黎曼積分是直接在 A 上依點的數值大小做切割，就是分段。而勒貝格積分是對 f(x) 的值做分段：

A(n,i) = {x in A: (i-1)/2^n < f(x) ≦ i/2^n}, i = -n 2^n ~ n 2^n

而後求和 Σ_i [(i-1)/n] λ(Ai)。上式只是粗略表示的方法，真正的定義是只從非負值函數上來定義；而一般的可測函數則按 f(x) > 0 的部分和 f(x) < 0 的部分分別看，f(x) < 0 則 -f(x) > 0，所以上列總和式的 i 總是從 1 開始。雖然 f(x) 可以是無界的，但第 n 個總和式中 f(x) 的值限制在 [0,n], 積分範圍 A 被依 f(x) 的值切割成 n 2^n 個互斥子集，每個子集都可能是無窮多個互斥區間的聯集。讓 n → ∞，則 f(x) 的範圍限制消失，因此，若上列總和序列（易證明必有極限，只是可能為無窮）極限是有限值，我們才說 f(x) 在 A 可積分：

∫_A f(x) dλ(x) = lim_n Σ_i [(i-1)/2^n] λ(Ai)

除了分割方式不同，一個（黎曼積分）是對 A 直接按其中點的數值大小分割，另一個（勒貝格積分）是就 f(x) 的值做分割然後對應到 A 上的分割，我們發現還有下列不同：

(1) 勒貝格積分的分割方式很特定，每一段都是 1/2^n 的差距，所以較大的 n 除了擴大的 f(x) 計值部分外，都是較小 n 的細分。

(2) 在每一分割都是取 f(x) 的下限，甚至可能低於該範圍的可能 f(x) 值。雖然這樣做有點像 Darboux 的下和，但因為是對 f(x) 值的分割，高低只相差 1/2^n。

在 f(x) 非負的情況，以上兩個特色使得 n 所對應的和 Sn 構成上升數列，所以必有極限，只是可能無窮。事實上只要存在 c > 0 使 {x in A: f(x) ≧ c} 有無窮測度，那麼積分就「不存在」了。所以或者積分範圍 A 本身有有限測度，或者 f(x) → 0 當 x →±∞ 時，積分才可能存在。

單點的勒貝格測度值是 0，因此改變 f(x) 在有限點的定義，並不影響其積分值及可積性。如前述定義在 [0, 1] 區間而其值依 x 是有理數或無理數而不同的 f(x)，把在有理數各點的 f(x) 重新定義成和 x 是無理數時一樣，則 f(x) 只是一個常數函數。如此改變並不影響勒貝格積分，但卻使 f(x) 在 [0, 1] 是黎曼可積。

一般測度 μ 之下的積分，只是把勒貝格測度 λ 改成 μ。如果宇集是 R，那麼存在遞增函數 α(x) 使

μ((a, b]) = α(b) - α(a)

此時可寫

∫_A f(x) dμ(x) = ∫_A f(x) dα(x)

稱右式為 Lebesgue-Stieltjes integral。測度與積分的概念還可擴充至 signed-measure，則 α(x) 不一定是遞增的，如同在 Riemann-Stieltjes 積分一般。