1^x = 2 有解？－劉應興的部落格

有一個影片說 1^x = 2 有解。其解法是：

因 1 = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = e^{i(2kπ)} for 整數 k

1^x = 2 ==> ㏒(1^x) = ㏒(2) ==> ㏒(e^{i(2kπ)x}) = ㏒(2)
==> i(2kπ)x = ㏒(2) ==> x = ㏒(2)/(i 2kπ), k 非 0 整數

首先，在實數系中 1^x ≡ 1 無論 x 是何數。那麼，在複數系中，1^x 可以不等於 1 嗎？

在複變函數中，非 0 複數變數的（複數值）自然對數函數有兩個定義：

(1) 複數 x 的自然對數㏒(x) 是指所有 y 使 e^y = x；

(2) 定義在一非 0 複數子集 U 的自然對數是使
e^㏒(z) = z for all z in U
的函數㏒(．)。

由於 e^{a + i 2kπ} = e^a，因此在複數系 C 中，自然指數函數 exp(z) 或 e^z 不是一對一函數，依嚴謹的反函數定義，不存在反函數，除非將 exp 函數的定義域縮減，使其符合一對一條件。也就是說，在上列 (2) 和 (1) 的定義中，兩者都一樣使得㏒(．) 出現無限多分枝 (branches)。如果把 exp(．) 的定義域限制使一對一條件滿足，例如

z = r (cos(θ) + i sin(θ)), θ in (-π, π]

即 exp 函數定義域中複數的幅角 (argument) 被限制在 (-π, π] 中，則其反函數㏒存在，而且㏒(z) 的值域

w = ln(z) = r + i θ, θ in (-π, π]

其虛部限制在同一範圍。這就是㏒函數的主分枝或㏒(z) 的主值 (principal value)。

主分枝的上列定義使得 z 在實數系 R 中時，㏒(z) 和實變數函數㏑(z) 的定義重合，因此㏒(1^x) = x ㏒(1) = 0 毫無疑問，1^x = 1 也絕對成立，1^x = 2 就不可能成立，也就是說方程式 1^x = 2 無解。但反過來，如果允許多值函數的存在，或者不選主分枝而選擇不同分枝呢？例如選取 (0, 2π] 做為㏒函數值域虛部的範圍，則似乎可得

㏒(1^x) = i(2π)x, ㏒(2) = ㏑(2)(i 2π)

雖然這選擇很奇怪，把正實數取對數竟然變成純虛數，但如果㏒(a^x) = x ㏒(a) 成立，它確實是邏輯上正確的。然而，前題（現似改稱「前提」? 按「前題」本意似為「在前的命題」，而「前提」是指先決條件。筆者以為 "if p then q" 之 p 稱「前題」或「前提」皆可。）是「㏒(a^x) = x ㏒(a) 成立」,但在複數系中它成立嗎？例如

㏒(z) = iθ, ㏒(w) = iφ, 是否㏒(zw) = i(θ+φ)?

如果㏒函數值之虛部被限制在一個 2π 的週期範圍，如何能確信 θ+φ 也在同一範圍？也就是說：此時在實變數實值對數函數的一些定律，到複變數複數值對數函數，可能不再適用，所以

㏒(1^x) ≠ x ㏒(1),

除非㏒(1) 取值 0 而非 i(2kπ)。

若允許㏒是多值函數，那麼㏒(a) = ㏒(b) 本身意義是什麼？是指兩個複數值的相等？或是指㏒(a) 所有可能值所形成的集合等於㏒(b) 所有可能值所形成的集合

{w in C: e^w = a} = {z in C: e^z = b}

如果複變數對數函數值的相等是上述意義，是否㏒(a^x) = x ㏒(a) 可以成立？以㏒(1^x) 為例，

㏒(1^x) = {0, ±2π i, ±4π i, ...}

x ㏒(1) = x．{0, ±2πi, ±4πi, ...} = {0, 2xπi, 4xπi, ...}

可以看出㏒(1^x) ≠ x ㏒(1)；另方面，

㏒(2) = ㏑(2)．{0, ±2π i, ±4π i, ...}

也是一個集合，那麼 x ㏒(1) = ㏒(2) 又如何解？至少沒道理㏒(2) 只取一個特定成員而㏒(1) 取特定成員以外所有成員。