劉應興的部落格

設 {a_n, n=1,2,...}  是一個正數序列, S_n= Σ_{k=1~n}a_k, 問 Σ_{n=1~N} a_n/S_n 會是什麼模樣？

本文將此級數稱為「類對數」, 因為設 a_n ≡ 1, 則 S_n = n, Σ_{n=1~n} a_n/S_n ～ ㏒(S_n} = ㏒(n), 此處 ㏒ 為自然對數，符號 An~Bn 表示 lim An/Bn = 1。類比於連績型問題，a_n 類比正值函數 f(x)，S_n-S_1 類比於 f(x) 在 [1,x] 的積分 F(x) = ∫_{1≦t≦x] f(t) dt，Σ_{n=1~N} a_n/S_n 類比於積分 ∫_{[1,N]} f(x)/F(x) dx = ㏒ F(N) - ㏒ F(1)。回到我們的問題，如果 a_n = n，則 S_n = n(n+1)/2，故

　　Σ_{n=1~N} a_n/S_n = Σ_{n=1~N} 2/(n+1) ~ 2(㏒(N+1) - ㏒2)~  ㏒(N(N+1)/2)

在連續問題，f(x) = x, F(x) = x^2/2,

∫_[1,N} f(x)/F(x) dx = ㏒(x^2/2)_[1,N} = 2 ㏒ N

那麼，是否對應任意正數列 {a_n, n=1,2,...} 都可得

Σ_{n=1~N} a_n/S_n ~ ㏒ S_N - ㏒ S_1

以 a_n ≡ 1 的情形為例，

　㏒ N = Σ_{k=1~N-1} ㏒ (k+1)/k < Σ_{k=1~N-1} 1/k < Σ_{k=1~N} 1/k
　㏒ N = -Σ_{k=1~N-1} ㏒ k/(k+1) > Σ_{k=1~N-1} 1/(k+1) = Σ_{k=1~N} 1/k - 1

因為 ㏒ N → ∞ 當 N→∞, 故 Σ_{k=1~N} 1/k ~ ㏒ N。

就一般的 a_n，首先，N>1 時

㏒ S_N - ㏒ S_1 = Σ_{k=1～N-1} ln S_(k+1)/S_k
      < Σ_{k=1～N-1} a_(k+1)/S_k
      = Σ_{k=1～N-1} a_k/S_k + Σ_{k=1～N-1} (a_(k+1)-a_k)/S_k
      = Σ_{k=1～N} a_k/S_k - 1
          - a_1/S_1 + Σ_{k=2～N-1} a_k(1/S_(k-1)-1/S_k) + a_N/S_(N-1)
      = Σ_{k=1～N} a_k/S_k - 1
          - a_1/S_1 + Σ_{k=2～N-1} (a_k)^2/(S_(k-1)S_k) + a_N/(S_N - a_N)

若級數 Σ(a_k)^2/(S_(k-1)S_k) 收斂，a_N/S_(N-1) 或 a_N/S_N 收斂至 0，則我們可得一實數 B，

㏒ S_N < Σ_{k=1～N} a_k/S_k + B

另一方面，

㏒ S_N - ㏒ S_1 = - Σ_{k=1~N-1} ㏒ S_k/S_(k+1) 
   > Σ_{k=1~N-1} a_(k+1)/S_(k+1) = Σ_{k=1~N} a_k/S_k - 1

或者說，對某一實數 A，

㏒ S_N > Σ_{k=1～N} a_k/S_k - A

所以，當 N→∞ 時，若 ㏒ S_N → ∞，則 Σ_{k=1~N} a_k/S_k ～ ㏒ S_N。

前述結果成立的條件是級數 Σ(a_k)^2/(S_(k-1)S_k) 收斂，但此條件是否必然成立？設 a_n = r^(n-1), r > 1, 則 S_n = (r^n-1)/(r-1), 而

 　　a_n^2/(S_(n-1)S_n) = (r-1)^2 r^(2n-2)/[(r^(n-1)-1)(r^n-1)]
              　　　　　　     = (r-1)^2/[r(1-r^(-n+1))(1-r^(-n))]

當 n → ∞ 時，此一般項收斂到 (r-1)^2/r ≠ 0，可知前項級數並不收斂。實際試算 r = 2 時 Σ_{n=1~N} a_n/S_n 與 ㏒ S_n 的比值遞減，其極限遠小於 1。可以猜想 r > 1 時都能得到類似結果，r 愈接近 1 則比值的極限愈高，r 趨近 1 則比值的極限也趨近 1，例如 r = 2 時比值極限接近 0.7, r = 1.5 時接近 0.8, 而 r = 1.2 時接近 0.9。

首先，在 a_n 恆正的條件下，S_n 嚴格上升，因此 S_n 或發散至 +∞ 或收斂至某一正數。若 S_n 收斂，則級數 Σa_n 收斂，故 Σ(a_k)^2/(S_(k-1)S_k) 亦收斂，因此  Σ_{n=1~N} a_n/S_n 與 log(S_n) 之間不形成漸近關係

 ㏒ S_N - B_N ＜ Σ_{k=1～N} a_k/S_k < ㏒ S_N +Ａ

其中 A = 1 - ㏒ a_1 是定值，而

　　B_N = Σ_{k=1～N-1} (a_(k+1)-a_k)/S_k - 1
    　　　= Σ_{k=2～N-1} (a_k)^2/(S_(k-1)S_k) + a_N/S_(N-1) - ２

在 N→∞ 時有極限 Σ a_n^2/(S_(n-1)S_n) - 2

若 S_N → +∞，有兩種情形：一是 a_n → 0 當 n→∞；另一種是對某一正數 ε，有無限多個 a_n ≧ ε。如果是第一種情形，因為 S_n 總是嚴格遞增，因此很明顯只要 Σ a_n^2 收斂則 B_n 收斂；另一明顯充分條件是 a_n 為單調下降，則由 B_n 的第一種形式易證其為收斂的。但因 S_n → +∞, 所以由第二形式可知 B_n 收斂的條件應該比前述兩種情形寬鬆，例如設

a_n = 1/n  if n is odd;  = 1/n^p  if n is even

其中 0 < p ≦ 1/2, 則 a_n 非單調下降，而 Σ a_n^2 也不收斂。此時

S_n = Σ_{k≦n. k odd} 1/n + Σ_{k≦n, k even} 1/n^p
    > ㏒ n - (1/2)㏒(n/2) + n/(2n^p) - c 

其中 c 為某常數使不等式至少在 n 大於某個 N0 時成立。事實上至少 n > N0 時我們可保證

S_n > S_(n-1) > n^(1-p)/2

故 a_n^2/(S_(n-1)S_n) < 4/n^2, 而 Σ4/n^2 收斂，所以 B_n 也是收斂的。

假設 a_n→0，定義 c_n = min{a_k: k≦n}，則 c_n↓0，而 S_n≧nc_n，故

　　a_n^2/(S_(n-1)S_n) ≦ a_n^2/[n(n-1)c_(n-1)c_n] ≦ (a_n/c_n)^2/[n(n-1)]

當 a_n/c_n 有界時，可保證 Σ a_n^2/(S_(n-1)S_n) 收斂。不過，這個條件仍過於嚴格，如前一個例子，c_n 序列為 1, 1/2^p, 1/3, 1/3, 1/5, 1/5, ...，故 a_n/c_n 為 1, 1, 1, 3/4^p, 1, 5/6^p, ...，則 a_n/c_n 在偶數項是 (n-1)/n^p, 並無上界。由前一實例的啟示，如果 c_n = a_n 占有一定比例以上，事實上可得 S_n ≧ S_(n-1) ≧ r n a_n, 其中 r 是 c_n = a_n 所佔的比例，則 B_n 將是收斂的。

對於 a_n 不收斂至 0 的情形，前面已看過 a_n = r^(n-1), r>1, 的例子顯示 B_n 不會收斂，這意謂 a_n 不能成長太快，指數成長已是太快，超過指數型的成長當然不在話下。甚至我們可以預期只要有一定比例的 a_n 成指數成長型或更快速成長，則 B_n 不能收斂。a_n 是冪數型成長 a_n = n^r, r>0, 則 S_n 大致是高一個乘冪 S_n ～ c n^(r+1), 因此 a_n/S_n～c/n，B_n 將是收斂的。另一種情形是 a_n 有上界且有正數下界：0<m≦a_n≦M, 則 a_n^2/(S_(n-1)S_n) ≦ M^2/[n(n-1)m^2], 顯然 B_n 收斂。

做個結束：對於 Σ_{k=1～N} a_k/S_k, 其中 S_n = Σ_{k=1~n} a_k, a_k ＞ 0, 若 S_n 收斂則 Σ a_n/S_n 也收斂，結果與 ㏒ S_n (或寫 ㏑ S_n) 有些差距；若 S_n 發散，則在一些情形

lim_{n→∞} (Σ a_n/S_n)/㏒ S_n = 1

所謂一些情形包括：a_n→0 且 Σa_n^2 收斂，或 a_n 單調遞減至 0，或 0<m<a_n<M，或 a_n 大致呈 n^r 成長，以及一些特定情形；但若 a_n 成指數成長 a_n = c r^n, r>1, 或更快速成長，則上列比值極限可能存在但不是 1；可惜本文並未能得到上列極限式成立的一般條件。