劉應興的部落格

傅立葉變換 (Fourier transform) 常簡寫 FT，對一 k 變數實數值或複數值函數 f(x) 而言，基本定義是

F(f)(t) = ∫_{R^k} e^{-2πi(t'x)} f(x) dx

其中 i 是虛數單位，也常見用 j 代替。另外可定義一個類似轉換

F*(f*)(x) = ∫_{R^k} e^{2πi(x't) f*(t) dt

假設 f*(t) = F(f)(t)，假設積分都收歛並且積分順序可變換，則

F*(F(f))(z) = ∫_{R^k} e^{2πi(z't)  ∫_{R^k} e^{-2πi(t'x)} f(x) dx dt
                = ∫_{R^k} f(x) ∫_{R^k} e^{-2πi(t'(z-x))} dt dx

上列積分式很有問題，最後一式內層積分就是一個難解的東西。假設 k = 1, 則

f*(t) = ∫_R e^{-2πitx} f(x) dx

考慮

F(a,b) = lim_{T→∞} ∫_[-T,T] (e^{2πitb} - e^{2πita})/(2πit) f*(t) dt
   = lim_{T→∞} ∫_[-T,T] (e^{2πitb} - e^{2πita})/(2πit) ∫_R e^{-2πitx} f(x) dx dt
   = lim_{T→∞} ∫_R f(x) ∫_[-T,T] (e^{-2πit(x-b)} - e^{-2πit(x-a)})/(2πit) dt dx

又假設關於 T 的極限操作可以放進外層積分式內，計算

lim_{T→∞} ∫_[-T,T] [e^{-2πit(x-b)} - e^{-2πit(x-a)}]/(2πit) dt
   = lim_{T→∞} 2∫_[０,T] [- sin(2πt(x-b)) + sin(2πt(x-a))]/(2πt) dt

這是因 e^{iu} = cos(u) + i sin(u), 而 cos(u) 是偶函數，sin(u) 是奇函數

∫_[-T,T]  [cos(2πt(x-b))-cos(2πt(x-a))]/(2πit) dt = 0

因積分元是奇函數，在對稱區間積分結果為 0。又，由

lim_{T→∞} ∫_[０,T] sin(2πct)/(2πt) dt
   = lim_{T→∞} ∫_[０,2πcT] sin(u)/(u/c) du/(2πc)
   = sgn(c)/(2π) lim_{T*→∞} ∫_[０,T*] sin(u)/u du
   = sgn(c)/4

其中 sgn(c) 為 c 的符號函數。故

F(a,b) = ∫_R f(x) (- sgn(x-b) + sgn(x-a))/2 dx
       = ∫_[a,b] f(x) dx

這是以 Riemann 積分來看的，如果是 Lebesgue 積分，則涉及端點測度值問題，也就是說：

設 f*(t) = ∫_R e^{-2πitx} f(x) dμ{x}, 並且 μ{a} = μ{b} = 0, 則
 ∫_(a,b] f(x) dμ{x} = lim_{T→∞} ∫_[-T,T] (e^{2πitb} - e^{2πita})/(2πit) f*(t) dt

注意 f(x) = lim_{h→0} F(x,x+h)/h，故

　　f(x) = lim_{h→0} lim_{T→∞} ∫_[-T,T] (e^{2πit(x+h)} - e^{2πitx})/(2πith) f*(t) dt

又假設 h→0 的極限操作可以與 T→∞ 極限互換，又能放進積分號內，則

f(x) = ∫_R e^{2πitx} f*(t) dt

也就是說：F*(F(f))(x) = f(x), F(F*(f*))(t) = f*(t)，即 F* 和 F 互為反變換。就 k 變數來說，結論是相同的

F*(F(f))(x) = f(x),   F(F*(f*))(t) = f*(t)

不過，上列關係要能夠成立，如前面推導所述，需要積分順序可互換，極限順序可互換，極限與積分順序可互換，這就需要一些積分收斂的條件。所以 F 和 F* 雖有相互逆反的關係，但當一個函數 f 有傅立葉變換時，其逆變換 F* 不一定存在。若對應 F，上述 F* 存在，則稱之為 F 的逆變換，因為 F 把某一函數空間的一個成員 f 送到（另一函數空間的）f*，而 F* 把 f* 送回 f。由於 F* 是 F 的逆變換，不妨以 F^{-1} 表示，即 f* = F(f), f = F^{-1}(f*)。

傅立葉變換和週期函數之傅立葉級數 (Fourier series) 有關：假設 f(x) 是定義於區間 [-T/2, T/2] 的函數，或週期為 T，相當於把 [-T/2, T/2] 區段的定義向左右無限次複製的週期函數，則我們期望 f(x) 可以用一個三角函數的（無窮）級數表示：

f(x) ～ a(0)/2 + Σ_{n=1~∞} [a(n) cos(n(2π/T)x) + b(n) sin(n(2π/T)x)]

符號 "～" 數學意思是「生成」，不放等號是因為一般情形我們無法確保等式成立。如果右邊級數和 f(x) 可以畫上等號，則

a(n) = (2/T) ∫_[-T/2, T/2] cos(n(2π/T)x) f(x) dx
b(n) = (2/T) ∫_[-T/2, T/2] sin(n(2π/T)x) f(x) dx

由 cos(θ) = (e^{iθ} + e^{-iθ})/2, sin(θ) = - i  (e^{iθ} - e^{-iθ})/2，並令 b(0) = 0, 可得

f(x) ～ Σ_{n = -∞ ~ ∞} c(n) e^{i n(2π/T) x},   其中
c(n) = (a(n) -sgn(n) i b(n))/2 = (1/T) ∫_[-T/2, T/2] e^{-n(2πi/T)x} f(x) dx

上列兩式，c(n) 相當於

f*(n) =  (1/T) ∫_[-T/2, T/2] e^{-2πi n(x/T)} f(x) dx
f(x) = Σ_{n = -∞ ~ ∞}  e^{2πi (x/T) n} f*(n)

即傅立葉變換及其逆變換。注意傅立葉級數的 n = 1 代表看週期函數整個週期用一個正/餘弦週期來描述，n 是其他正整數代表一個函數週期分成 |n| 段用正/餘弦波來描述 f(x) 的變化。級數中常數項是 f(x) 的「平均水準」, 對應頻率 n > 0 的係數 (a(n), b(n)) 或 (c(n), c(-n)) 則決定了頻率 n 的挀幅大小和相位偏移：

a(n) cos(nθ)+ b(n) sin(nθ) = r(n) cos(nθ-φ(n))

當 f(x) 為實函數，故 a(n), b(n) 為實數時，式中 r(n) = √（a(n)^2 + b(n)^2) 是振幅；而 φ(n) 由 a(n) = r(n) cos(φ(n)) 及 bn) = r(n) sin(φ(n)) 共同決定。注意 n > 0 時

a(n) cos(nθ)+ b(n) sin(nθ) = r(n) e^{-iφ(n)} (e^{nθ} + e^{-nθ})/2

故 c(n) = r(n) e^{-iφ(n)} 而 c(-n) = r(n) e^{iφ(n)}。當 f(x) 是複值函數時意義相仿，只是此時 a(n), b(n) 本身就是複數，振幅 r(n) 及相位角 φ(n) 的計算有些不同罷了。因此，我們可以說傅立葉變換是傅立葉級數的連績版本，並且把 f(x) 中屬於頻率 |t| 的振動劃分成 f*(t) 與 f*(-t) 兩部分。

類似週期函數用正/餘弦表示成傅立葉級數可以轉換成由諸 e^{-2πi n(x/T)} 構成的級數，一般單變數函數的傅立葉變換也可以用正/餘弦變換來表現

f(x) = ∫_[0, ∞) (a(t) cos(2πtx) + b(t) sin(2πtx)) dt

正如傅立葉級數表示 f(x) 一般，此處可以類比地說 f(x) 被表示成傅立葉積分。式中 a(t) 是 f(x) 的餘弦變換而 b(t) 是正弦變換：

a(t) = 2∫_R f(x) cos(2πtx) dx,    b(t) = 2∫_R f(x) sin(2πtx) dx,

這正如傅立葉級數 a(n), b(n) 之計算。

傅立葉級數可以看成是以 {1, cos(n(2π/T)x), sin(n(2π/T)x), n = 1, 2, ...}，或以 {e^{i n (2π/T) x}, n = 0, ±1, ±2, ...} 相互正交函數族表示的形式。當 n 只取到有限值，即用有限級數表現時，我們可考慮最小平方配適：

minimize ∫_[-T/2, T/2] |f(x) - Σ_{n=-N~N} c(n) e^{i n (2π/T) x}|^2 dx

由於是複數值，注意上式是取差之絕對值再平方，而不是直接取差的平方（複數 z 之絕對值平方等於 z 乘以其共軛）。結果得

c(n) = <f(x), e^{i n (2π/T) x}>/<e^{i n (2π/T) x)m e^{i n (2π/T) x}>

式中 <u, v> 是複數向量內積，此處是積分，則得

c(n) = ∫_[-T/2, T/2] f(x) e^{- i n (2π/T) x} dx/T

因  e^{i n (2π/T) x} 與其共軛 e^{- i n (2π/T) x} 相乘結果為 1，在 [-T/2, T/2] 積分結果得 T。由於所用函數相互正交（向量意義），增減任意項對 c(n) 無影響，因此用無窮項來表示 f(x) 時 c(n) 仍如上。令

f°(x) = Σ_{n=-N~N} c(n) e^{i n (2π/T) x}

用向量空間的想法，f°(x) 是 f(x) 在 span({e^{i n (2π/T) x}, n = 0, ±1, ±2, ..., N}) 的正交投影，因此

|| f ||^2 = <f, f> = || f° ||^2 + || f - f° ||^2

而 || f° ||^2 = Σ_{n=-N~N} |c(n)|^2，若完整無窮項的傅立葉級數收斂到 f(x), 則

|| f ||^2 = ∫_[-T/2, T/2] |f(x)|^2 dx = Σ_{n=-∞~∞} |c(n)|^2

如果 f, g 兩函數同是週期 T，其傅立葉級數均收斂至對應函數本身，則

<f, g> = Σ_n f*(n)*g*ˇ(n)

式中 f*(n) 是 f 的傅立葉係數，g*ˇ(n) 代表 g 的傅立葉係數取共軛。就一般函數之傳立葉變換，也有

<f, g> = ∫_R f(x) gˇ(x) dx = ∫_R f*(t) g*ˇ(t) dt

式中加上標 "ˇ" 代表複數取共軛。當然，假設逆變換存在，所有函數絕對及二次可積。

當 f(x) 為週期函數時，∫_R e^{-2πi tx} f(x) dx 的定義方式有些問題，x →±∞ 時 f(x) 不收斂到 0，∫_R |f(x)| dx = +∞，傅立葉變換的積分式很可能不收斂。從頻率來觀察，傅立葉級數各項在 f(x) 的每個週期內 |n| 個循環，所以傅立葉級數（如果收斂）保持與 f(x) 相同的週期 T；但傅立葉變換代表頻率的 t 是任意實數，與 f(x) 本身週期甚至不能形成共同週期，

週期函數 f, g 分別有週期 T1, T2（均為正數）, 若且唯若 T1/T2 是有理數，則它們有共同週期

T = m T1 = n T2,   m, n 是正整數‵

共同週期意指最小正數 T 使 f(x+T) = f(x) 且 g(x+T) = g(x), for all x。

[證] 設敘述中之 T 存在，則 T1/T2 = n/m, 是有理數。
反之，令 T1/T2 的最簡比例式是 n/m，故 m T1 = n T2，其共同值用 T 表示。顯然 f(x+T) = f(x) 且 g(x+T) = g(x), 對所有 x 都成立。
設 T' < T 是共同週期，則存狂正整數 m', n' 使 T' = m' T1 = n' T2, < m T1 = n T2，所以 m' < m, n' < n, T1/T2 = n'/m' = n/m，這與 n/m 是 T1/T2 的最簡分式表達矛盾。故 T 為共同週期。

所以，即使 ∫_R e^{-2πi tx} f(x) dx 收斂於 t 在某一非空開區間，它也不適合代表週期函數 f(x)。另一方面，一般 f(x) 的傅立葉變換是

f*(t) = ∫_R e^{-2πi tx} f(x) dx

而當週期函數 f(x) 用傅立葉級數表示時

f*(n) = c(n) = (1/T) ∫_[-T/2, T/2] e^{-2πi (n/T) x} f(x) dx

把上面的 f*(n) 改以 f*(n/T) 表示，則

f*(k/T) = c(k) = Σ_{n=-∞～∞} c(n) δ(k/T - n/T)

式中 δ(．) 是 Dirac delta 函數。因此，週期函數之傅立葉級數若收斂，則其傅立葉變換可以寫成

f*(t) = Σ_{n=-∞～∞} c(n) δ(t - n/T)

其實就是傅立葉級數（以 e^{2πi (n/T) x) 表示）之係數的 Dirac delta 函數和表現方式而已。

傅立葉變換有些常數項，可能在不同應用會採用不同係數，一般式是

f*(t) = [|b|/(2π)^{1-a}]^{k/2}∫_{R^k} e^{i b t'x} f(x) dx
f(x) = [|b|/(2π)^{1+a}]^{k/2} ∫_{R^k} e^{- i b x't f*(t) dt

取 b = -2π, a = 0，即是前面所列形式，頻率變數 t 是以 2π 為單位，一般式則以 |b| 為單位。取 |b| = 1, 則直接以角的弳度或稱弧度為單位，統計、機率的特性函數 (characteristic function, ch. f.) 即是取 b = -1，並且 a = 1，故連績型分布有 p.d.f.  f(x) 時其特性函數為

f*(t) = ∫_R e^{itx} f(x) dx,
反算公式  f(x) = 1/(2π) ∫_R e^{-itx} f*(t) dt

而在多變量聯合分布有聯合 p.d.f.  f(x) 時

f*(t) = ∫_{R^k} e^{i t'x} f(x) dx,
f(x) = 1/(2π)^k ∫_{R^k} e^{- i t'x} f*(t) dt

若 b = -1 而 a = 0，則

f*(t) = 1/(2π)^{k/2} ∫_{R^k} e^{- i t'x} f(x) dx,
f(x) = 1/(2π)^{k/2} ∫_{R^k} e^{i t'x} f*(t) dt

也可以取 b = 1, a = 0，把上列傅立葉換和其逆變換顛倒。所以，把 f 送到 f* 的變換 F，和把 f* 送到 f 的變換 F*，其實都是傅立葉變換，只是一個稱傅立葉變換，另一個就是傅立葉逆變換。

在機率與統計學上，一個離散型分布 P[X = x_n] = p_n 也可以有 ch.f.

φ(t) = Σ_n p_n e^{i t x_n}

依本文傅立葉變換採用的慣例，應是 φ(t) = Σ_n p_n e^{- i 2π t x_n}。不過，其「逆變換」卻是有問題的——假設積分可移到總和號內，則

∫_R e^{i 2π t x} φ(t) dt = Σ_n p_n ∫_R e^{i 2π (x-x_n) t} dt

並不收斂到 P[X = x]；不過，還是可以由 φ(t) 得到 p_n 的，因為可以取區間 (a, b] 使

P[a < X ≦ b] = P[X = x_n]
            =  lim_{T→∞} ∫_[-T,T] (e^{2πitb} - e^{2πita})/(2πit) φ(t) dt

或直接將 φ(t) 表現成 Σ_n p_n e^{- i 2π t x_n} 形式，則對應的 p_n 就找到了；若 P[X = x_n] 僅在等距點 x_n = x_0 + nd 有正值，則對應

φ(t) = Σ_n p_n e^{- i b t x_n}

的逆變換為

p_n = P[X = x_n] = (|b|d/(2π)) ∫_[-π/(bd), π/(bd)] e^{i b x_n t} φ(t) dt

相關文獻上，假設資料序列 x(n), n = 0, 1, ..., N-1, 是從等距 N 點得到的函數 f(x) 的值，定義其傅利業變換

x*(t) = Σ_{n = 0～N-1}  x(n) e^{- i 2π t (n/N)},  t = 0, 1, ..., N-1

稱此為資料序列 {x(n)} 的離散傅立葉轉換 (DFT)。這是假設函數 f(x) = x(n) 當 x = 0, 1/N, ..., (N-1)/N，此處 f(x) 可以假設僅定義在此 N 個點；或假設 f(x) 為週期 1 的週期函數。或者，{x(n)} 也可以看成是定義於 0, 1, ..., N-1 諸點，週期 N 的函數，其 DFT 仍如上（比較週期 T 的週期函數）。另，其逆變換即傅立葉級數

x(n) = (1/N) Σ_{t = 0～N-1}  x*(t) e^{ i 2π t (n/N)},  n = 0, 1, ..., N-1

如果由 x(n) 變換成 x*(t) 的計算式前面加 1/√N 歸一化因子，則由 x*(t) 到 x(n) 這逆變換前面的 1/N 也改成 1/√N。為什麼傅立葉級數只選頻率 t = 1 到 N-1？因為用不同頻率了解 f(x) 描繪的波動，如果只有兩個資料點 x(0) 和 x(1)，我們只能用一個調整了相位的正弦或餘弦波通過這兩點，或即一對標準正弦波和標準餘弦波的組合；如果有三個資料點，一對標準正弦波和標準餘弦波的組合不足以描述；以此類推，N 個點用最多 N-1 個正／餘弦波足夠了，就像平面上相異 N 個 (x_i, y_i) 的點，我們用最多 N-1 階多項式做插值，這裡只是不用多項式或 n 次冪項，而改用不同頻率及相位的正／餘弘波罷了。

如果訊號函數 x(t) 是在連績時間的，０ ≦ t < ∞ 或 -∞ < t < ∞, 其傅立‵葉變換是 x*(ω), 同樣可取 ０ ≦ ω< ∞ 或 -∞ < ω < ∞。為了符號一致性，x(t) 改為 f(x) 而 x*(ω) 改為 f*(t)。但實務上我們只能做有限區段甚或有限點取樣。如果函數 f(x) 只能取 a ≦ x ≦ b 一段，其傅立葉變換也只能做 [a, b] 區段的積分；如果 f(x) 是一個週期函數，[a, b] 看成是它的一個週期，則 f(x) 可以用傅立葉級數表示。現假設在區間 [0, L] 取點 0, L/N, ..., (N-1)L/N 得 x(n) = f(nL/N) = f(nT), 此處 T= L/N 代表取樣間隔。令

f°(x) = Σ_{0=0~N-1} x(n) δ(x-nT} = Σ_{0=0~N-1} f(nT) δ(x-nT}

函數 f°(x) 只是諸點 {x(n)} 的另一種表示，強調來自函數 f(x) 的取樣。但以諸 δ(x-nT) 的線性組合表示，則依一般傅立葉變換得

f°*(t) = Σ_{n=0~N-1} f(nT) F(δ(x-nT})(t) =  Σ_{n=0~N-1} x(n) e^{-i 2π nT t}

這稱為「離散時間傅立葉轉換 (DTFT)」; 如同前面離散型機率分布的特性函數，b = 2π, d = T, 其逆變換為

x(n) = f(nT) = T ∫_[-1/(2T), 1/(2T)] e^{i 2π nT t} f°*(t) dt

注意 T = L/N，若 L = 1，即以取樣時段為一單位，則 nT = n/N, 而上列逆變換公式前面因子 T 改為 1/N，積分範圍則是 -N/2 到 N/2。

比較 DFT 和 DTFT，其實都是對離散資料 {x(n)} 的傅立葉變換，前者是用傅立業級數的觀念，隱含 x(n) 是週期函數的一個週期；後者並不把 {x(n)} 視為週期函數，而是將它看成是 f(x) 的一段等距取樣，故採用了連績型傅立葉變換。不過上列 DFT 和 DTFT 都是假設有限 N 個資料項，倒是在機率統計上的特性函數，連續型分布的 ch.f. 相當於一般傅立葉變換，而最常見之應用的，僅在整數點有正機率的離散型分布之 p.m.f.，仍可以總和取代積分定義 ch.f.（傅立葉變換），並以在一個 2π 範圍的積分得反算公式（傅立葉逆變換），機率分布於可數個等距點而不一定整數時，其逆變換只是稍做修改。

設 w(x) = 1 當 -L/2 ≦ x ≦ L/2; 在其他處 w(x) = 0。則

∫_R f(x) w(τ－x) e^{- i 2π x t} dx  = ∫_[τ-L/2, τ+L/2] f(x) e^{- i 2π x t} dx

只取 [τ-L/2, τ+L/2] 一段的 f(x) 做頻譜分析。函數 w(x) 以 0 為中心，而在上列積分式中右移 τ 單位，於是擷取到 f(x) 在 [τ-L/2, τ+L/2] 做立葉變換後；我們可以改變 τ 的值看 f(x) 的不同段的頻譜，稱此為 f(x) 的短時距傅立葉變換 (short-time Fourier transform, STFT) 或加窗傅立葉變換，可用 f*(t,τ) 來表示上列積分。函數 w(x) 稱為「視窗函數 (window function)」，並不只上面一種，一般廂窗函數要求是

(1) 偶函數，即 w(-x) = w(x)
(2) w(x) → 0 當 x → ±∞, 或只在有界區間是正值
(3) w(0) 最高, 隨 |x| 增大而遞減

可用的除前例的方形，三角形，Hanning, Hamming, 高斯(Gaussian)，採用最後一種視窗函數的 STFT 又稱「加伯變換 (Gabor transform)」。除了方形視窗函數以外，其他視窗不僅擷取 f(x) 的一段，事實上還改變了 f(x) 的高低，等於改變了 f(x) 的形狀，特別是高斯窗函數仍取用整個 f(x)，只是給予不同權重，離視窗中心 τ 愈遠則 f(x) 的絕對值被縮得愈小。不過因為高斯函數的特性，e^{-x^2/σ^2} 很快縮減至接近 0，也跟只擷取 f(x) 的一段差不多。

由積分的性質，不管是 Riemann 積分或 Lebesgue 積分，傅立葉變換顯然是一個線性變換

F(af+bg) = a F(f) + b F(g)

上式除代數關係外還包括「存在性」的問題，即：若 f, g 都定義於 R^k 並且存在傅立葉變換，a, b 是任意實數或複數，則 af+bg 也存在傅立葉變換，這也意謂「存在傅立葉變換」的函數構成一個線性空間（向量空間）；這個空間有一個子空間，那就是：其傅立葉變換的像 f* = F(f) 存在對應的傅立葉逆變換。統計或機率中的連續型分布的 p.d.f. 就是這空間的子集（它不成子空間，因為限制非負值又限制積分值為 1）。上述性質重要與否、實用性不論，但傅立葉變換卻有幾項較有意思的性質。首先是函數的平移，設 f°(x) = f(x-c),則

F(f°)(t) = ∫_{R^k} e^{-2πi t'x} f°(x-c) dx = e^{-2πi t'c} F(f)(t)

函數的垂直平移則因在 R^k 的常數函數積分不收歛問題無法談，不過如果只是在一個有限的矩形區域內把函數上下平移，龐應用先前說的「線性變換」性質即可。另外，若函數做水平方向可逆線性變換 f°(x) = f(Ax)，則

F(f°)(t) = ∫_{R^k} e^{-2πi t'x} f°(Ａx) dx = F(f)((A^}{-1})'t)/|det A|

一個特別情形是在 x 各軸做縮放，即 A 為對角線元素均正值的對角線矩陣。至於垂直方向縮放，即函數值的常數倍，只是前面線性變換的特例而已。兩函數 f 和 g 捲積可定義為

(f★g)(x) = ∫_{R^k} f(u) g(x-u) du

這是多變數版的，和平常看到的單變數版並無實質差別。於是，藉由 Fubini 定理（多元積分與不同順序之多重積分的等值性）及積分變數變換，易得

F(f★g)(t) = F(f)(t) F(g)(t)

另一種相關變撇，拉布拉斯 (Laplace) 變換 L(f)(t) = ∫_[0,∞) e^{-tx} f(x) dx, 也具有上列性質：捲積的變換等於各函數經變換後相乘。配合下列微分關係，成為解微分方程式的重要工具（傅立葉及拉布拉斯變換）：假設 D f(x) 是 f(x) 的導數，Df 和 f 都存在傅立葉變換，f(x) → 0 當 x → ±∞（在 Laplace 變換則要求 f(x) 低於指數成長等級）, 則

F(D f)(t) = ∫_R e^{-2πi tx} D f(x) dx = i(2πt) F(f)(t)

另一種微分關係在某些領域也有其用處：假設積分號下微分成立，x f(x) 存在傅立葉變換，則

D F(f)(t) = (d/dt) ∫_R e^{-2πi tx} f(x) dx = - i(2π) F(x f(x))(t)

統計或機率中特性函數或動差母函數計算動差，或利用其關係式推導一些結果，如中央極限定理之證明。上述關於微分的性質，只是因為書寫方便用單變量一次微分表示，對於多變量、高階（偏）微分，很容易得到相關結果。

設 f(x) = g(x) + i h(x)，實數值函數 g, h 分別是 f(x) 的實部和虛部，則

f*(t) = g*(t) + i h*(t)

則 f* 的實部是 Re(f*) = Re(g*) - Im(h*)，虛部是 Im(f*) = Im(g*) + Re(h*)。即使 f 是實數值，也就是說 h(x) ≡ 0，其傅立葉變換 f*(t) 仍可能是虛數，即 Im(g*(t)) ≠ 0，但此時 f*(-t) 是 f*(t) 的共軛。但 f*(-t) 等於 f(-x) 的傅立葉變換，這表示若 f(x) 是實數值，則其傅立葉變換 f*(t) 也是實數值的一個充分條件是 f(x) 是個對稱函數，即 f(-x) = f(x)，或即偶函數；類似地，如果 f(-x) = - f(x)，即奇函數，則其傅立葉變換 f*(t) 將是純虛數值，即 f*(t) 之實部為 0。因此，若將複數值函數 f 的實部 g 和虛部 h 各自分解為其偶函數部分和奇函數部分：

f(x) = g"(x) + g'(x) + i h"(x) + i h'(x)

其中 g", h" 為偶函數，g', h' 為奇函數，g = g" + g', h = h" + h'。則經傅立葉變換

f*(t) = g"*(t) + i g°(t) + i h"*(t) - h°(t)

式中 i g°(t) = g'*(t), i h°(t) = h'*(t)。又，

f*(-t) = g"*(t) - i g°(t) + i h"*(t) + h°(t)

因此，F(Re f) 等於 f*(t) 與 f*(-t) 之共軛的平均（因為 * 已被用於代表傅立業變換，不能再用於代表示複數之共軛）。以上 x, t 雖以單變量形式表示，但多變量亦同，如前。

函數 f(x) 是 k 變數，即 f 定義於 R^k，其傅立業變換 f*(t) 也同樣定義於 R^k。因此，拋卻原本 f(x) 和 f*(t) 的 x 和 t 意義的差別，純粹將它們看成是定義在 R^k 的函數，對兩個存在傅立業變換，同樣定義於 R^k 的函數而言，可以考慮 f(x)g*(x) 或 f*(x)g(x) 的積分，則

∫_{R^k} f(x) g*(x) dx = ∫_{R^k} ∫_{R^k} e^{-i2πx'y} f(x) g(y) dy dx
         = ∫_{R^k} f*(y) g(y) dy

如果 f(x) 的傅立業變換存在逆變換，因為傅立業變換和逆變換只是 e^{i 2π t'x} 和 e^{-i 2π t'x} 的差異，所以

F^{-1}(f*(t))(u) = (F f(x))(-u)

符號 F^{-1} 早先我們也用 F* 表示。所以對 f(x) 做雙次傅立業變換

F(F(f))(u) = f(-u)

變成只是把 f(x) 在 x 的方向上反向 f(-x) 而已。如果再用 F 作用一次，

F(f(-x))(u) = ∫_R e^{-i 2π x u} f(-x) dx = ∫_R e^{- i 2π z (-u)} f(z) dz = f*(-u)

以 F^n 代表 n 次 F 變換合成，以 P 代表函數變量的反向，則得

F^0 = identity
F^1 = F
F^2 = P
F^3 = P。F = F。P
F^4 = identity

在 4 次傅立葉變換後等於沒變換。雖然上面是用單變量來例示，但多變量結果也相同。

假設 f(x) 存在，則 ∫ f(x) dx 是存在的，其意義在 Riemann 積分是瑕積分收斂，在 Lebesgue 積分則是  ∫ |f(x)| dx < ∞。當然兩種積分對 f(x) 還各有不同的要求，在此假設它們都成立，並要求採 Riemann 積分的話，也是假設收斂是指覺對收斂，稱之為絕對可積的。假設 f(x) 是單變量實數值，首先，可以證明兩個結果：設 f 是絕對可積的，則

對任意 ε > 0, 存在階梯函數 g(x) = Σ_{j=1~n} y_j I_{Aj}(x) （其中諸 Aj 為有界匿間，I_A(x) 是指示函數），使 ∫_R |f(x) - g(x)| dx < ε。

對任意 ε > 0, 存在連續函數 h(x)，僅在一有界子集上非零，使
∫_R |f(x) - h(x)| dx < ε。

採用第一個結果，並設 Aj = [a_j, b_j], 則

|f*(t)| ≦ |f*(t) - g*(t)| + |g*(t)|  ≦ ∫_R |f(x) - g(x)| dx + |∫_R e^{-i 2π tx} g(x) dx|

右式第一項小於事先指定的任意 ε；而第二項等於

|Σ_j y_j (e^{-i 2πt a_j} - e^{-i 2πt b_j})/(i 2π t) → 0    當 t → ±∞

由於 ε > 0 是任意的，因此 f*(t) → 0，當 t → ±∞。如果 f(x) 是複數值，只需把 f 分成實部和虛部來看，也可得到其實部與虛部都在無窮遠處收斂到 0 的結論。再者，當 f 是多變量函數時，單看多變量之中任一變量的性質，結果是：函數 f(x) 的（連續型）傅立葉變換若存在，則當 t 的任一分量 t_j → ±∞ 時，f*(t) 將收斂至 0。

假設 ∫_R |x^n f(x)| dx 收斂，x^m f(x), m = 0, 1, ..., n 的傅立葉變換都存在，則依傅立葉變換微分公式，

D^m F(f)(t) = (- i 2π )^m F(x^m f(x))(t)

當 t = 0 時，f*^(m)(0) = (-i 2π)^m ∫_R x^m f(x) dx。另一方面，f*(t) 可在 t = 0 做 Taylor 展開：

f*(t) = f*(0) + t f*'(0)/1! + ... + t^n f*^(n)(0)/n! + Rn

但餘式 Rn 有多大？

|Rn| = | ∫_R e^{-i 2π tx} f(x) dx 
         　　　  - Σ_{m=0~n} t^m (-i 2π)^m ∫_R x^m f(x) dx/n! |
     = | ∫_R (e^{-i 2π tx} - Σ_{m=0~n}  (-i 2π t x)^m/m!) f(x) dx |

關鍵是 e^{-iu} - Σ_{m=0~n} (-iu)^m/m! 是多少？首先，由

∫_[0,u] e^{-is} ds = (1-e^{-iu})/i

得 e^{-iu} = 1 - i∫_[0,u] e^{-is} ds，而後

e^{-iu} = 1 - i ∫_[0, u] e^{-is} ds
        = 1 - i {u - ∫_[0, u] (u-s) i e^{-is} ds}
        = 1 - iu + i^2 ∫_[0, u] (u-s) e^{-is} ds
        = 1 - iu + i^2 {u^2/2 - i ∫_[0, u] [(u-s)^2/2]e^{-is} ds}
        = 1 - iu + (iu)^2/2 - i^3 ∫_[0, u] [(u-s)^2/2] e^{-is} ds
        = Σ_{j=0~n} (-iu)^j/j! + (-i)^{n+1} ∫_[0, u] [(u-s)^n/n!] e^{-is} ds

其中餘式又可表達為

(-i)^{n+1}∫_[0, u] [(u-s)^n/n!] e^{-is} ds
     = (-i)^n/n! { - u^n + n∫_[0,u] (u-s)^{n-1} e^{-is} ds }
     = (-i)^n/(n-1)! ∫_[0,u] (u-s)^{n-1} (e^{-is}-1) ds

也就是說 e^{-iu} 的餘式

r_n = e^{-iu} - Σ_{j=0~n} (-iu)^j/j!
    = (-i)^{n+1} ∫_[0, u] [(u-s)^n/n!] e^{-is} ds
    = (-i)^n/(n-1)! ∫_[0,u] (u-s)^{n-1} (e^{-is}-1) ds

第一個積分式絕對值不大於 |∫_[0, u] (u-s)^n/n! ds| = |u|^{n+1}/(n+1)!，第一個積分式絕對值則不超過 2|u|^n/n!，故 f*(t) 的第 n 階 Taylor 展式餘式上限為

|Rn| ≦ ∫_R min{|2πtx|^{n+1}/(n+1)!, 2|2πtx|^n/n!} |f(x)| dx

由於 ∫_R |x^n f(x)| dx < ∞，而上列上限又小於（或等於）其 2(2π)^n/n! 倍，如果 f(x) 的尾巴 (x→±∞) 消失得夠迅速使得 ∫_R |x^n f(x)| dx 都存在並且不要增長太快，則 f*(t) 做 Taylor 展開的餘式將收斂至 0。不過，這其實可能不重要，統計與機率中的中央極限定理 (CLT) 也只展開至 n = 2 就足夠了。

兩實變數實數值函數 f(x), g(x) 視為時間數列，可二次積分，設

∫_R f(x) dx = 0 = ∫_R g(x) dx
∫_R (f(x))^2 dx = 1 = ∫_R (g(x))^2 dx，

則 ρ(t) = ∫_R f(x) g(x+t) dx 可視為 f 領先 g 時差 t 的交叉相關函數，前面曾說在傅立葉變換可逆，f, g 絕對及二次可積的條件下

<f, g> = <f*, g*>

而由函數平移對傅立葉變換的影響，可代入上面的 g*。另外，ρ(t) 也是定義於 R 的函數，在可能情形也可以考慮其傅立葉變換

∫_R e^{ -i 2π ty} ρ(y) dy = f*(-t) g*(t)

這有些像捲積的傅立葉變換，因為  ρ(y) = ∫_R f(-z) g(y-z) dz，等於 f(-z) 與 g(z) 的捲積。上列若 g = f, 則 ρ(y) 是自相關函數，得 ρ*(t) = f*(-t)f*(t)，因為 f 假設是實數值的，所以 f*(-t) 是 f(t) 的共軛，ρ*(t) = |f*(t)|^2，是實數，因為自相關函數是對稱的，ρ(-t) = ρ(t)。