劉應興的部落格

信賴區間 (Confidence interval) ， 或對應在貝氏分析中應的「可信區間 (credible interval)」，是關於一個實數值參數值落在什麼範圍的一個描述。例如說：
在 1-α 信賴水準下，民眾在 XXX 意見上表示支持的比例在 xx% 至 yy% 之間。

在 Neymann-Pearson 檢定，也就是傳統假說檢定中，「不拒絕虛無假說」常被強調不能解釋為「接受虛無假說」, 通常的理由是 N-P 檢定只藉由「顯著水準」來控制型Ⅰ誤機率，卻未能有效控制型Ⅱ誤發生機率，一個水準 α 檢定的型Ⅱ誤機率可以高達 1-α。一個水準 α 檢定是說如果參數 θ 是符合或說落在虛無假說之內，犯型Ⅰ誤的機率不超過 α。因此，如果檢定結果是拒絕虛無假說 H 而接受對立假說 K，這表示我們可能犯了型Ⅰ誤，也可能 θ 確實不在 H 而是在 K 內。但如果是前者，由於 α 值通常取很小，表示如果實際上 θ 在 H 之內，我們會判定 θ 不在 H 之內的機率很小，因此我們寧願冒著犯型Ⅰ誤的風險而認定 K 成立。但另一方面，如果檢定結果是「不拒絕 H」, 實際上 θ 是可能確實在 H 內，但如果 θ 在 K 內我們仍有很大機會，例如接近 1-α 的機率，因此沒有理由判定說 θ 在 H 之內。
本文考慮成對比較假說：H': a ≦ b 對 K': a > b，H": b ≦ c 對 K": b > c 與 H: a ≦ c 對 K: a > c。此處 a, b, c 是實數值參數。由於是實數參數，"≦" 和 ">" 都應滿足遞移性（遞移律），a ≦ b 且 b ≦ c 蘊涵 a ≦ c，即：若 H' 和 H" 都成立則 H 成立；類似地，K' 和 K" 都成立則 K 成立，即 a > b 且 b > c 則 a > c。

聯集交集檢定 (Union-intersection test, UIT) 是對於一組 Hi 對 Ki 的假說檢定，成立一個綜合的假說檢定：
H: all of the Hi's are true,   K: some of the Ki's are true

在多重檢定，例如變異數分析 (ANOVA) 中的多重比較，一直被關注的是族錯誤率 (FWER, family-wise error rate)，但在控制族錯誤率的同時，不免造成檢定力 (power of a test) 的低下。為此，Benjamini and Hochberg (1995) 提出了「偽發現率 (FDR, False Discovery Rate)」的概念及相應的多重檢定程序。

在多重比較法之中，Duncan 法和 Newman-Keuls 法可以說是 Tukey 檢定的修正；對 Bonferroni 多重檢定，其目的都是在控制族錯誤率 (FWER, family-wise error rate) 的同時，掀高個別檢定的檢定力 (power of a test)。
多重檢定問題是說：我們面臨多個假說檢定問題 Hi 對 Ki，如果逐一做普通固定顯著水準的假說檢定，基於顯著水準的設置就是容許我們犯型Ⅰ誤的機會，在做這麼多檢定的過程，我們至少犯了一次型Ⅰ誤的機率是很大的。例如假設每個 Hi 對 Ki 的檢定都容許 α = 0.05 的型Ⅰ誤機率，如果做了 10 個檢定，假設這 10 個虛無假說其實都不應該被拒絕，但實際上至少一個虛無假說 Hi 會被拒絕的機率可能高達 0.5，因為

月中，ptt 數學板有一個討論串：
對於x_i均非負數，i=1~n , 試證：
        (x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √[(x_1 x_2+x_2 x_3+...+x_n x_1)/n]

在統計假說檢定問題中，如果虛無假說 H° 和對立假說 H' 都是簡單假說，H° 是 θ = θ°，H' 是 θ = θ'，Neyman-Pearson 引理告訴我們：最佳檢定是選取 L(θ'; x)/L(θ°; x) 最大的部分當拒絕域。具體做法就是選擇一個臨界值 c 當資料 x 落在 C = {x:  L(θ'; x)/L(θ°; x) > c} 時就拒絕 H°: θ = θ° 而接受 H': θ = θ'。臨界值 c 的值決定了這個檢定犯型Ⅰ誤機率 P_{θ°}{C} 的大小。但因為檢定力P_{θ'}{C} 的大小和 P_{θ°}{C} 的大小是同向的，因為是同一個事件「拒絕 H°」的機率，只是用於計算機率的機率分布不同。所以，為了極大化檢定力，c 的選擇是使型Ⅰ誤機率在不超過顯著水準的要求下儘量放大，在可能情況使二者相等。如果對立假說是複合假說，即包含不只一組參數值，理想情況是上述 NP 檢定對於對立假說中的任一組參數值都相同，即所謂「一致最強力檢定」；或是在某些合理限制下，如限制不偏檢定，或在某種變換群之下不變的焮定，希望其中可找酊一致最強力的檢定。當虛無假說也是複合假說時，除了在虛無假說的每一點，即每一組參數值，其型Ⅰ誤機率一致被要求不超過顯著水準之外，基本上沒什麼不同，一切都是從 NP 引理始。
然而，即使加上不偏、不變的限制，其中也不一定有一致最強力檢定。例如，以統計資料分布族中的乖乖牌，指數族來說，假設最簡單的，獨立雙變量資料，其機率密度

前幾天談的「重複量測與相關」談的是一個 X(i) 觀測值對應數個 Y(ij) 觀測值的問題，基本模型是
Y(ij) = α + β X(i) + ε(i,j),   i = 1, ..., k,  j = 1, ..., n(i)

PTT 統計板上一個問題
我有30個受　試者 每個受試者有一個 age 的data 以及 blood pressure (bp) 但bp測了2次 我知道可以每個人取得2次bp 的 average 然後直接做 bp average 與 age的correlation (圖會有30個 data point) 但如果不取2次bp 的 average 直接做 bp 與 age的correlation (圖會有60個 data point) 這應該不行吧？ 如果不取2次bp 的 average 要做這個correlation 該用什麼統計方法呢

在 https://yhliu2k.pixnet.net/blog/post/58349248 中談及  regression toward the mean 時把 Galton 的「回歸至平均值」現象解釋為