劉應興的部落格

又稱理髮師悖論 (barber paradox)，（悖論 (paradox) 也譯詭論、奇論）：某城裡一個理髮師宣稱他將給城裡所有不自己刮臉的人刮臉，也僅為不自己刮臉的人刮臉。疑問是：理髮師為不為自己刮臉？很容易發現不論理髮師為不為自己刮臉都會產生矛盾。

羅素不是閒極無聊地管起理髮師的問題，他只是用來比喻集合的描述性定義：{x : P(x)}, 其中 P(x) 是一個邏輯語句，將造成矛盾。實情是：如果 P(x) 是

x not in x (or: x not belong to x)

而集合 B 定義為 B = {x : P(x)}, 那麼，B 是否 belong to B? 結果發現：

B in B <==> B not in B

或許將 B 的定義修正一下：

B = {x in A : x not in x}

若是 B not in A, 則矛盾不會產生。問題是：這導出的是 B not in A 的結論，或更進一步地說：不存在包含一切的集合；卻不能說 x in x 或 x not in x 有沒有問題。例如 {x : x in x} 或 {x in A : x in x} 這樣的集合允許嗎？以後者而論，只能說：若 B in B 則 B in A。

我們中學所學的集合，大概就是所謂「樸素集合論 (naive set theory)」的方法：一個集合定義形式如 {1, 2, 3} 這樣元素一一列舉，或 {x : P(x)} 這樣所謂典型元素描述法。而羅素詭論就是指出這樣的集合論將產生 {x : x not in x} 這樣會產生矛盾的怪物。後來數學家建立公設（公理）化體系，目前廣被接受的應是 Zermelo-Fraenkel 公設系統，有包含「選攆公設 (axiom of choice)」的簡稱 ZFC 公設，未包含選擇公設的簡稱 ZF 公設。

ZFC 公設有一個特性：任意集合的任一元素本身也是一個集合。瞭解這點對瞭解公設內容有幫助，例如解決羅素詭論的一個公設稱正則公設 (axiom of regularity) 或限制公設 (axiom of restriction) 或基礎公設 (axiom of foundation)，其敘述是：

對所有非空集 A，存在一元素 B，使得 A∩B = φ(空集）

有此公設，x in x 的情形不能出現，則在描述集合的語句當然也不能出現 x not in x 這樣的語句。

為何有了正則公設，就能避免 x in x 這樣的情形？因為如果有一個集合 A 滿足 A in A。根據配對公設 (axiom of pairing):

對任意集合 x, y, 存在集合 {x, y}

所以 B = { A } 也是一個集合。然而 A in B 且 A in A，所以 B 中找不到一個元素和 B 交集是空集，因為 B 中唯一的元素是 A, 而 A∩B ≠ φ。