劉應興的部落格

看到一個問題：如何判斷空間中一點是否在給定四點決定的三角錐（四面體）內。

假設給定空間中不共平面的四點 A: (a1,b1,c1), B: (a2,b2,c2), C: (a3,b3,c3), D: (a4,b4,c4)，它們唯一決定了一個四面體或稱三角錐，以 S 表示。今有一點 P: (x,y,z)，欲判斷 P 是否在 S 內部。

首先我們考慮一個較簡單的問題：平面上不共線三點 A: (a1,b1), B: (a2,b2), C: (a3,b3) 決定了一個三角形區域。給予另一點 P: (x,y)，P 會在三角形內？三角形（邊或頂點）上？或三角形外？

如果有人問：1 + 1 = ?  結果必然許多不同回答，有當字謎猜的，有腦筋急轉彎的，有生活實證的，當然也有一些正經八百談數學的。

從數學這個方向來看，小學生甚至幼兒園甚至幼兒園還沒上就被教導 1 + 1 = 2。

不過，在網上大概也可找到 1 + 1 = 1, 1 + 1 = 3, ... 的數學「證明」。當然，這些所謂「證明」，有些只當玩笑，有些則藉以說明在解方程式問題時要避免的錯誤。例如：

數學上怎麼計算甜甜圈的體積?

甜甜圈以 S 表示，把它放在「標準位置」，也就是：
　　(x-a)^2+y^2<=b^2

有若干硬幣，其中一枚是偽幣。偽幣與真幣只差在質量不同。今欲用天平，不含法碼，用最少次量測來找出偽幣，問：怎麼做？

數學問題就是這麼不現實！現實上除非剛從鑄幣廠出來，如果經過輾轉使用，會有不同程度的磨損；即使同是新鑄幣，也有製造公差，因此很難說兩枚硬幣完全無差別。再者，為什麼要限制只能用天平還沒有法碼呢？咱用砰不行嗎？又何必執著於最少次量測？

話說回來，如果只能測質量或重量，而且真幣之間的差異現有工具無法查覺，倒是真偽幣之間的質量差距能輕易用天平測出，那麼，採用其他方法或許真不可能更快（更少次數量測）找出偽幣。