lim_{x→0+} √(x+√(x+√...)) = ?－劉應興的部落格

前幾天看到一個問題：

lim_{x→0+} √x = 0
lim_{x→0+} √(x + √x) = 0
lim_{x→0+} √(x + √(x + √x)) = 0
lim_{x→0+} √(x + √(x + √(x + √...))) = ?

首先需要確定 lim_{x→0+} √(x + √(x + √(x + √...))) 是什麼？從微積分課程來看，它是要求

f(x) = √(x + √(x + √(x + √...)))

這「函數」，如果是的話，當 x 從右邊逼近 0 時的極限。但在此之前，我們必須先確定上式右邊確實定義了一個函數 f(x)。而要確定此事，我們又必須從函數序列來看：

f_1(x) = √x, x ≧ 0
f_2(x) = √(x + √x), x ≧ 0
f_3(x) = √(x + √(x + √x)), x ≧ 0
. . .

所以， √(x + √(x + √(x + √...))) 是上面的函數序列 f_n(x) 的極限，如果存在的話，f(x) = lim_{n→∞} f_n(x)。

函數序列 f_n(x) 可以遞迴定義

f_{n+1}(x) = √(x + f_n(x)), n ≧ 1; f_1(x) = √x

因為 f_1(x) 對非負 x 都可定義，x ≧ 0 就是其自然定義域；且 f_1(x) 非負。所以 f_2(x) 的自然定義域也是 [0, ∞)，並且非負值。一般，如果 f_n(x) 在 [0, ∞) 可定義且非負值，則 f_{n+1}(x) 亦然。因此，由數學歸納法（原理），所有 f_n(x), n = 1, 2, ... 都定義在 [0, ∞) 且都是非負值。

設 x = 1，則

f_1(1) = √1 = 1
f_2(1) = √(1 + √1) = √2 > f_1(1)
f_3(1) = √(1 + √(1 + √1)) = √(1+√2) > f_2(1)

設 f_n(1) > f_{n-1}(1) 則 f_{n+1}(1) > f_n(1)，因此 { f_n(1) } 是遞增數列。另一方面，如果此數列有極限，則可計算得其極限為 r = (1+√5)/2，且此數將為 f_n(1) 之最小上界。設 f_n(1) < r，則

f_{n+1}(1) = √(1+f_n(1)) < √(1+r) = r

即：f_{n+1}(1) 也以 r 為上界。由於 1 < r，可知 f_n(1) < r 對所有 n 都成立。因此，lim_n f_n(1) = r 成立。

對所有 x ≧ 0, 因 f_1(x) = √x 而 f_2(x) = √(x+√x) ≧ f_1(x);再由 f_n(x) 的遞迴定義可得 f_{n+1}(x) ≧ f_n(x) 恆成立。類似 f_n(1), 若 f(x) = lim_n f_n(x) 存在，則

f(x) = √(x + f(x))

故 f(x) = [1 + √(1+4x)]/2, 且當 x > 0 時 f(x) = r(x) = [1 + √(1+4x)]/2 且 r(x) 將是數列 { f_n(x) } 的最小上界。顯然

f_1(x) = √x < 1/2 + √(1/4 + x) = r(x)

設 f_n(x) < r(x)，則

f_{n+1}(x) = √(x + f_n(x)) < √(x + r(x)) = r(x)

因此證明了 f_n(x) 有極限，對所有 x ≧ 0；且 x > 0 時 f(x) = r(x) 為其極限。但 x = 0 時，f_n(0) = 0 對所有 n = 1, 2, ...。也就是說