劉應興的部落格

一個國2的題目. . .

           n^2         n-1  (j+1)^2-1
原式 = Σ  1/√k = Σ       Σ       1/√k   +   1/n
          k=1         j=1   k=j^2

圖示方式可看出
                                    q
(q-p+1)/√[(p+q)/2] ≦ Σ 1/√k ≦ (q-p+1)(1/√a + 1/√b)/2
                                  k=p

因為加總的數列圖示如果成直線則剛好 = 項數*中點 = 項數 * 首尾平均 (等差數列和, 梯形法則), 而上列下限 (下界) 相當取中點切線, 上限 (上界) 取弦.

   (j+1)^2-1
故 Σ       1/√k 介於 (2j+1)/√[j(j+1)] 與 (2j+1)(1/j+1/√[j(j+2)])/2 之間
   k=j^2

前者(下界)大於 2; 後者(上界)小於 (2j+1)^2/[2j(j+1)] = 2 + 1/[2j(j+1)]. 故

                                                n-1
 2(n-1) + 1/n ≦ 原式 ≦ 2(n-1) + Σ (1/2)[1/j-1/(j+1)] = 2(n-1) + (1-1/n)/2
                                                j=1

兩端整數部分都是 2(n-1).

 當然，這問題若用積分法會較簡便，但那不是國中範圍。

後來看到別人提出的方法：

√(k+1) - √k = 1/(√(k+1) + √k) < 1/(2√k) < 1/(√k + √(k-1)) = √k - √(k-1)

對 k 加總, 得 N > 1 時

Σ_{k=1~Ｎ} (√(k+1) - √k) < Σ_{k=1~N) 1/(2√k) = 1/2 + Σ_{k=2~N) 1/(2√k)
                                                                             < 1/2 + Σ_{k=2~N} (√k - √(k-1))
故 (N > 1 時)
          √(N+1) - 1 < Σ_{k=1~N) 1/(2√k) < 1/2 + √N - 1
所以
              2(√(N+1) -1) < Σ_{k=1~N) 1/√k < 2√N - 1
又, √(N+1) > √N + 1/[2√(N+1)], 結果
          2(√N - 1) + 1/√(N+1) <  Σ_{k=1~N) 1/√k < 2√N - 1
當 N = n^2 時, 得
          2(n-1) + 1/√(n^2+1) < Σ_{k=1~n^2} 1/√k < 2n - 1
則 int(Σ_{k=1~n^2} 1/√k) = 2(n-1).