趣味數學： 1 + 1 = ?－劉應興的部落格

如果有人問：1 + 1 = ? 結果必然許多不同回答，有當字謎猜的，有腦筋急轉彎的，有生活實證的，當然也有一些正經八百談數學的。

從數學這個方向來看，小學生甚至幼兒園甚至幼兒園還沒上就被教導 1 + 1 = 2。

不過，在網上大概也可找到 1 + 1 = 1, 1 + 1 = 3, ... 的數學「證明」。當然，這些所謂「證明」，有些只當玩笑，有些則藉以說明在解方程式問題時要避免的錯誤。例如：

設 a = b,
則 ab = b^2,
則 ab-a^2 = b^2-a^2
則 a(b-a) = (b+a)(b-a)
兩邊消去共同因子 b-a, 得
a = b+a
若取 a = b = 1, 即
1 = 1 + 1

既得 1 + 1 = 1, 即 1 = 2, 則 1 + 1 = 3, 甚至 1 + 1 = 任何整數。當然上述「證明」是錯誤的，錯在兩邊消去的「共同因子」是 0, 也就是兩邊同除以 0，以致運算規則被破壞。

正經地說，在數學自然數、實數上，或算術上 1 + 1 = 2, 這是大家都知道的。有人會問：1 + 1 = 2, 要怎麼證明？或者就是規定（定義）？說是定義也可以，關鍵是：1 + 1 是怎麼定義的？或者更正式地：我們的數字「加法」是怎樣定義的？

目前對算術運算，大概首先是定義加法，減法由加法而來，然後乘法，又由乘法定義除法。在算術、代數的領域，由乘法可接著定義乘冪，而後開方根，接著擴充至有理數乘冪。而要定義任意實數乘冪則要採用極限，或所謂分析方法。不過在分析的領域，又可能採用另一程序來定義實數乘冪——指數，那就是：先以積分式定義「自然對數」，而後其反函數即自然指數函數 e^x, 然後可定義 a^x, a>0, a≠1，最後定義以 a 為底的對數。

在數的加法運算，首先定義「自然數」的加法，然後擴充至所有整數，然後是有理數，然後實數、複數。談到自然數之加法的定義，又要問：什麼是自然數？這又有兩種，一種是把正整數當自然數；另一種自然數指的是非負整數。這兩種其實現在都以 Peano 公設為基礎（基於序數理論則它是公設；基於基數理論或集合論則它又是定理），只是最小自然數取 1 或 0 的問題，不過這當然是影響加法的定義，也因此影響到 1 + 1 = 2 要如何證明或直接當成定義。

如果自然數是從 1 開始，則其加法可定義為：

m + 1 = m'
m + n'= (m+n)'

其中 a' 稱 a 的「後繼元」，如 1' = 2, 2' = 3。所以，第一式 m 取 1　就是 1 + 1 = 1' = 2, 因 2 是 1' 的代號，所以說 1 + 1 = 2 是定義並無不可。

若自然數是由 0 開始，加法定義可能是：

m + ０ = m . . . . . . . (1)
m + n'= (m+n)' . . . . (2)

那麼 1 + 1 = 2 可證明如下：

1 + 1 = 1 + 0' ( 由 1 = 0' )

= (1 + 0)' ( 由 (2) )

= 1' ( 由 (1) )

= 2 ( 由 2 = 1' )

如果你曾看過正式的證明，可能發現那是一長篇，不免疑惑：像上面那樣簡短的證明算是嚴謹證明嗎？為什麼別人需要寫一長篇？其實，上面的證明簡短在於以上是根據明確的定義來的。至於所根據的定義是否有問題並沒有列入討論，我們假設它是沒問題的。而先前提到的一長篇的證明，可能從自然數系的建構開始，討論自然數系的存在性、唯一性及其他性質，而後證明加法的可定義性，定義式的完備無矛盾，以及所定義之加法運算具有什麼性質。例如，根據前述第一種定義，我們可證明「結合律」成立：

證明: for all m, n, p in N,
(m+n)+p = m+(n+p)
[證]
對 p 用數學歸納法, m, n 為任意自然數。
(1) 當 p = 1,
(m+n)+p = (m+n)+1 ( p = 1 )
= (m+n)' ( 定義第一式 )
= m+n' ( 定義第二式 )
= m+(n+1) ( 定義第一式 )
= m+(n+p) ( p = 1 )
(2) 假設 p = k 時結合律成立, 則 p = k' 時
(m+n)+p = (m+n)+k' ( p = k' )
= [(m+n)+k]' ( 定義第二式 )
= [m+(n+k)]' ( p = k 時的假設 )
= m+(n+k)' ( 定義第二式 )
= m+(n+k') ( 定義第二式 )
= m+(n+p) ( p = k' )
依據 Peano 公設 (之數學歸納法原理), m, n, p 為任意自然數時結合律都成立。