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數學上怎麼計算甜甜圈的體積?

甜甜圈以 S 表示，把它放在「標準位置」，也就是：
　　(x-a)^2+y^2<=b^2
繞 y 軸轉旋轉之立體。

甜甜圈之一切片是一小圓, 如上述之圓方程式, b 是其半徑, a 是圓心至座標原點之距離。

微積分中欲求此旋轉體之體積 V, 有「圓盤法 (disc method)」和「圓柱法 (cylindrical shells method)」。

圓盤法:

上述放在標準位置的甜甜圈 S, 在 y 軸之座標 -b ≦ y ≦ b。在每一 y 值處做一橫切面（切片），其切面是一圓環，外圓半徑 a+√(b^2-y^2), 內圓半徑 a-√(b^2-y^2), 故得圓環（圓盤）面積為：
　　圓盤面積 = π{[a+√(b^2-y^2)]^2-[a-√(b^2-y^2)]^2}
　　　　           = 4πa✓(b^2-y^2)
對y積分:
  　V = ∫_[-b,b] 4πa√(b^2-y^2) dy = 2π^2ab^2

圓柱(殼)法:

在距離 y 軸 x 的地方做一圓柱切片，a-b ≦ x ≦ a+b。則此圓柱之 y 座標值，從　  -✓(b^2-(x-a)^2) 到 ✓(b^2-(x-a)^2)·, 故：
　　圓柱側面積 =  4π·x✓(b^2-(x-a)^2)·dx
對x積分。
 　 V = ∫_[a-b,a+b] 4πx√[b^2-(x-a)^2] dx
　  　  = ∫_[-b,b] 4π(a+z)√(b^2-z^2) dz
　  　  = ∫_[-b,b] 4πa√(b^2-z^2) dz

考慮一參數化方法。甜甜圈 S 之「中心環」可以表示為
  x = a · cos(t)
  y = a · sin(t)
  z = 0;   
    0 ≦ t ≦ 2π
在中心環的每一點建立切片的動態座標
  p = u · cos(v)
  z = u · sin(v); 
    0 ≦ u ≦ b，0 ≦ v ≦ 2π
其中 p 是 xy-平面一點在動態系統上的一维，
v=0 時，p 相當於是
   x = (a+u)cos(t)
   y = (a+u)sin⒯
v=π/2 或 3π/2 時，p 是
   x = a·cos(t)
   y = a·sin(t)
一般，
   x = (a+u·cos(v))cos(t)
   y = (a+u·cos(v))sin(t)
   z = u·sin(v);
     0≦u≦b, 0≦v≦2π, 0≦t≦2π
新座標系與xyz座標系間轉換之 Jacobian (絕對值) 為
　　 |J| = u·|a+u·cos(v)|
在 a>b 條件下，绝對值符號可以拿掉，對 u, v, t 積分結果，得
  V = ∫∫∫ u(a+u·cos(v)) du dv dt
    = 2π^2·a·b^2

換個方式來看:  t = 0 時, 也就是 S 的一個切片
  x = a + u cos(v)
  y = u sin(v);
    0 ≦ u ≦ b, 0 ≦ v ≦ 2π
加一 z 軸垂直 xy-平面。上列「切片」繞 y 軸旋轉角度 t, 則得點集
  x = (a + u cos(v))cos(t)
  y = u sin(v)
  z = (a + u cos(v))sin(t);
    0 ≦ u ≦ b, 0 ≦ v ≦ 2π
這是因一點 (x, y, 0) 距旋轉中心柱距離 x, 故繞 y 軸旋轉角度 t 後，得新點座標　　 (x cos(t), y, x sin(t)).

因此, 我們得旋轉體體積算法之第三種:
曲線形區域
  x = f(u,v)
  y = g(u,v)
    (u,v) in A
繞 y 軸旋轉, 則可得旋轉體
  x = f(u,v)cos(t)
  y = g(u,v)
  z = f(u,v)sin(t)
    (u,v) in A, t in [0,2π]
可在 uvt 座標系積分而得旋轉體體積
　　 V = ∫∫_{(u,v) in A} ∫_[0,2π] |J| dt d(u,v)

一個例子是直接 (x,y) = (u,v) in A, 繞 y 軸旋轉, 假設 u 恆非負,
則所得之旋轉體體積 V 為
　　  V = ∫∫_{(u,v) in A} ∫_[0,2π] |u| dt d(u,v)
　　　    = 2π∫∫_{(u,v) in A} u d(u,v)
　　　    = 2π．(u-bar)．(area of A)
此即 Pappus-Guldinus Theorem.