劉應興的部落格

有一個族群成長模型常用來描述一個群體，例如培養皿上的細菌數，的成長趨勢：

dN/dt = kN(1-N/M)

式中 N 表示群體的大小，是時間 t 的函數，M 代表環境限制，是 N 的上限，k 控制成長速度。由上式可知：N 的成長速率大抵是正比於群體大小的，這符合生物成長模式：較大群體衍生出更多新個體；但如果看相對成長速率，或成長率 (dN/dt)/N, 則餘裕空間 1-N/M 比例的大小限制了成長率，這看起來也是很合理的。這成長模型稱為「邏輯斯成長模型」；如果沒有「成長率受環境限制而減緩」的因素，模型 dN/dt = kN 就是一個指數成長模型。馬爾薩斯人口論就是認為人口數量的成長是指數成長，二十世紀後期則將人口成長視為邏輯斯成長，而今則有很多國家地區人口呈負成長現象。

上面的邏輯斯成長模式只考慮到成長而沒考慮到消退，或只考慮生而沒考慮死，如人口成長當然不是這樣的，即使培養皿上的細菌成長也有「兩相」成長模式。或許可在前述成長模式加上死亡因素：

dN/dt = αN(1-N/M) - βN

但此式如果 β < α 可改寫成

dN/dt = (α-β)N(1-N/M*),  M* = M(1-β/α)

仍是一個邏輯斯成長模式；當 α = β 時是倒數衰退，當 β > α 時則接近一個指數衰減模式。不過，M, α, β 是常數時此模型未能描述一個群體從（邏輯斯）成長轉變為衰退的現象。

如果邏輯斯成長模型是合理的，那麼模型與事實的差異來源是什麼？問題應該是出在「M, α, β 是常數」的設定。且不考慮死亡，只就原本的壟輯斯模型來看，假設 k 改為函數 α(t), 則

N(t)/(M-N(t)) = (N0/(M-N0)) e^(A(t)-A0)

或

N(t) = M/{1+(M/N0-1)e^{-(A(t)-A0)}}
     = 1/[1/M + (1/N0-1/M)e^{-(A(t)-A0)}]

其中 N0 = N(0), A0 = A(0) 而 A(t) = ∫α(t) dt。此處 N0 是 N(t) 的初值，A0 是 A(t) 的初值。若 {α(t), t≧0} 是一隨機過程，則 {A(t), t≧0} 也是隨機過程——當然，這中間有個「可積分」與否的問題，不過我們且忽略它，畢竟用微分方程來描述模型，藉由微積分運算來得到 N(t) 表現形式也不過是一個計算技巧。結果 {N(t), t≧0} 也是一個隨機過程，在 (t1,t2] 的增量是

N(t2)-N(t1) = (1-e^{-(A(t2)-A(t1))})N(t2)[M-N(t1)/M]

與微分方程形式相近（微分方程為 t2 接近 t1 的極限形式）。

實務上 α(t) 除了隨時間而變以外，也與各種因素的變化相關，即 α(t) 應改為 α(t,x), A(t) 應改為 A(t,x), 如人口之所以由正成長變成負成長，很可能是 x 的變化導致在生死模型中 α(t,x) 變成太小致  α < β，例如節育政策的推行、教育的改變、經濟的變化、觀念的轉變等等。

給定 N0，設 A0 = 0，N(t) 可簡單表示為

N(t) = 1/(B+Ke^{-A(t)})

其中 A(t) 以機率 1 發散至 ∞，故 N(t) 從 1/(B+K) 成長到以 1/B 為極限，而

A(t) = -log((1/N(t)-B)/K)

隨機過程 {A(t), t≧0} 與 {N(t), t≧0} 有一對一的關係，從 A(t) 的機率分布可導得 N(t) 的機率分布，反之亦然。