劉應興的部落格

機率和統計中常需耍由一個或多個隨機變數，經一個數學函數變換另一個或多個隨機變數，簡單的數學表示就是 Y = g(X)。並且，由 X 的分布可推導出 Y 的分布。這其中，有一個變換很特殊，在統計上也具有重要地位的數學變換，稱「分布函數變換」.

分布函數 (distribution function) 或稱「累積分布函數 (cumulated distribution function)」,通常昆跟隨機變數掛鉤的。以單一隨機變數，或更具體地說，實數值隨機變數，其定義是

　　F(x) = P[ X ≦ x ]   （有的作者可能用 P[ X < x] 的定義，此處不採。)

這樣定義的分布函數是右連續 (right continuous) 的，數學表示法是 F(x+) = F(x)。圖形上就是在每個跳躍點下方空心（代表該點不存在）而上方實心（代表該點存在），以階梯型分布函數（離散型分布的分布函數）就是在每一個平台左端點實心而右端點空心（跳上一個台階了）。

所謂分布函數變換 Y = F(X) ，其中變換函數 F 就是 Ｘ 的分布函數。

如果一個分布函數 F 是處處嚴格遞增，也就是 x < y 保證 F(x) < F(y),  或者此分布的「支撑 (support)」是單一區間，而 F 在此區間內嚴格遞增，也就是除了 F(x) = 0 及 F(x) = 1 的區域以外嚴格遞增，那麼，分布函數變換將把任何這種分布轉成在 [0,1]] 的均勻分布。也就是說：

　　若 X～F, 則 Y = F(X) 具有在 [0,1] 的均勻分布。

設 X 的分布函數 F(x) 在支撑 [a,b] 是嚴格遞增的，也就是

　　F(a) = 0, F(b) = 1, 且在區間 [a,b] 是 x < y 則 F(x) < F(y)。

F(x) 是 X 的分布函數，則 Y = F(X) 在 [0,1] 服從均勻分布： P[ Y ≦ y ] = y 當 y 在 [0,1] 中。

對於上述嚴格遞增的 F 來說，這很容易由「變數轉換公式」證明，或直接用分布函數證明：

　　P[ Y ≦ y ] = P[ F(X) ≦ y ] = P[ X ≦ F^(-1)(y) ] = F(F^-1(y)) = y 當 0<y<1

其中關鍵是反函數 F^(-1) 的存在。

在離散型分布，其分布函數是階梯型的，不是一對一函數，當然不存在反函數。即使是連續型分布，如果 X 的分布支撑不是一個單一區間，則 F(x) 在中間會有一段平台，也不是一對一的，因此不存在反函數。這時，我們可以定義一個「虛擬反函數」Ｇ(p), 0 < p < 1，滿足 F(G(p)) = p, 則分布函數變換仍然把一個分布轉換成 [0,1] 間的均勻分布。