劉應興的部落格

朋友傳來一個短影片，其中提到：「天弓飛彈一發攔截機率約70%，用三發攔截一發成功機率是210%。」

唉！不懂計算機率何必談機率？機率一定是 0-1 之間的數，這是最基本的概念，哪有「機率210%」的說法？

假設每發飛彈攔截住敵方飛彈機率是 p，又假設多重攔截時命中率互不影響——意思是每發用以攔截之飛彈在敵方飛彈未被摧毀前命中並能摧毀之的機率都是 p。這必須排除己方飛彈自己相撞互毀的情況，也就是己方用於攔截的飛彈先後抵達目標區，如果此時敵方飛彈尚未被摧毀，則被本發攔截彈摧毀機率是 p。但事實畢竟不同於模型，如果己方攔截飛彈未做好規劃而是亂彈齊發式地去攔截，誰知會不會互相干擾。

假設敵方來一枚飛彈而我方用 3 發去攔截，在前述假設之下，這枚來犯飛彈沒被攔住的機率是 (1-p)^3，以前述假設的天弓飛彈攔截成功率來說，就是 2.7%, 表示成功攔截的機率是 97.3%，算是相當高了。

假設敵方來 3 枚以上飛彈，我方也發射 3 發天弓飛彈分別以一枚敵方飛彈為目標去攔截，此時要計算「成功機率」是多少？先問何謂「成功」？如果至少攔截住一枚就算成功，那就是前述 1-(1-p)^3 = 0.973；如果來犯 3 枚飛彈全被摧毀算成功，那成功機率只有 p^3 = 0.343。平均而言，這樣的攔截可以摧毀 3p = 2.1 枚來犯飛彈，也就是 3 對 3 的攔截我們可以期望成功摧毀 2 枚而漏失一枚。

回到一枚飛彈來犯的問題，如果攔截策略是：一發未成功攔截再發射另一發去攔截，問需發射幾發？那麼一發就成功攔截的機率是 p = 0.7；除卻時間因素，需 2 發才能攔截住的機率是 p(1-p) = 0.21；而如果沒有時間限制，需第 3 發才能成功攔截住的機率是 p(1-p)^2 = 0.063。所以累計來說，最多發射 3 發能成功攔截住的機率是 0.973。結果與前述 3 對 1 能成功攔截機率相同，這並非巧合，因為不成功的事件都是「n 次獨立試行均失敗」，機率都是 (1-p)^n。

理論歸理論，事實不一定符合理論。以飛彈攔截來說，不同目標點的成功機率應是不同的，太早攔截可能因距離尚遠而準確率較低；太晚攔截可能時間上來不及。同時多發攔截一枚敵彈可能浪費也可能自己轟自己（例如 3 對 1 成功機率只比 2 對 1 高 6.3%)，一發不中再發射一發可能有前述時間來不及問題。而敵方來犯飛彈很可能不是一枚，我方可能也沒那麼多飛彈用來攔截敵方飛彈。所以現實問題比理論問題常是複雜百倍、千倍、甚至萬倍。

(20220816)

根據報導 https://www.ettoday.net/news/20220815/2316504.htm，發射天弓兩枚攔截率只有80%，那麼在獨立性假設之下，單一枚平均成功率只有約55%；愛國者飛彈兩枚攔截率 88%，單發也只有65%，不是報導中的75%。如果報導中的資料都是實證的，那就是獨立性假設不成立，或者是試驗次數太少所致。如果是因試驗次數太少致樣本比例（天弓2枚80%; 愛國者單發75%雙發88%）誤差大，那麼所謂愛國者較天弓優的結論，在攔截率方面也就有待商榷了。當然，所謂天弓單發70%, 愛國者75%，也許是指「最高成功率」，是最理想狀態下的攔截成功率，那也就是宣傳用而已，實際上還是要看實證資料。而試驗或演習的實證資料，也不如真正戰場使用結果。再者，攔截率可能也要視攔截對象而有不同。