劉應興的部落格

一般的 Poisson process 可以說是 Poisson birth process. 如果問題是類似：一開始有 N 人，隨著時間過去死亡類似一般 Poisson process 那樣發生，則 [0.t] 之間的死亡數 {D(t), t>0} 暫且稱之為「Poisson 死亡過程 (death process)」。

依上述想法，Poisson death process 可用以下條件來描述：

1. D(0) = 0;
2. N(t) = N - D(t);
3. P[D(t+h)-D(t) = 1] = N(t)λ(t)h + o(h);
4. P[D(t+h)-D(t) = 0] = 1-N(t)λ(t)h + o(h).

則

P[D(t+h) = 0] = P[D(t) = 0]P[D(t+h)-D(t) = 0]
              = P[D(t) = 0](1-N(t)λ(t)h + o(h))

故

d/dt ln(P[D(t) = 0]) = -(N-D(t))λ(t) 

這微分方程式涉及隨機變數 D(t) 有些麻煩；不過，如果 D(t) << N, 也就是說在考慮的時間範圍內 N(t) ≒ N, 則

P[D(t) = 0] ≒ e^(-NΛ(t)), 其中 Λ(t) = ∫_[0,t] λ(u) du

對 k > 0,

P[D(t+h) = k] = P[D(t) = k]．P[D(t+h)-D(t) = 0]
                        + P[D(t) = k-1]．P[D(t+h)-D(t) = 1] + o(h)

故

d/dt (P[D(t) = k]) = (P[D(t) = k-1] - P[D(t) = k]) (N-D(t)) λ(t)

在 N(t) ≒ N 的條件下，遞回得

P[D(t) = k] ≒ [(NΛ(t))^k/k!]e^(-NΛ(t)), k = 1, 2, ...

也就是說：若在考慮的時段內，N 相對於 D(t) 極巨大，則 Poisson death process 可用 Poisson birth process 近似，就像 N 極大（相對於 n）的超幾何分布可用二項分布近似，或統計中有限群體隨機抽樣當 n/N 夠小時能近似看成是無限群體的隨機抽樣。