劉應興的部落格

在 Neymann-Pearson 檢定，也就是傳統假說檢定中，「不拒絕虛無假說」常被強調不能解釋為「接受虛無假說」, 通常的理由是 N-P 檢定只藉由「顯著水準」來控制型Ⅰ誤機率，卻未能有效控制型Ⅱ誤發生機率，一個水準 α 檢定的型Ⅱ誤機率可以高達 1-α。一個水準 α 檢定是說如‵果參數 θ 是符合或說落在虛無假說之內，犯型Ⅰ誤的機率不超過 α。因此，如果檢定結果是拒絕虛無假說 H 而接受對立假說 K，這表示我們可能犯了型Ⅰ誤，也可能 θ 確實不在 H 而是在 K 內。但如果是前者，由於 α 值通常取很小，表示如果實際上 θ 在 H 之內，我們會判定 θ 不在 H 之內的機率很小，因此我們寧願冒著犯型Ⅰ誤的風險而認定 K 成立。但另一方面，如果檢定結果是「不拒絕 H」, 實際上 θ 是可能確實在 H　內，但如果 θ 在 K 內我們仍有很大機會，例如接近 1-α 的機率，因此沒有理由判定說 θ 在 H 之內。

本文考慮成對比較假說：H': a ≦ b 對 K': a > b，H": b ≦ c 對 K": b > c 與 H: a ≦ c 對 K: a > c。此處 a, b, c 是實數值參數。由於是實數參數，"≦" 和 ">" 都應滿足遞移性（遞移律），a ≦ b 且 b ≦ c 蘊涵 a ≦ c，即：若 H' 和 H" 都成立則 H 成立；類似地，K' 和 K" 都成立則 K 成立，即 a > b 且 b > c 則 a > c。

假設對參數比較之檢定都以點估計量之差建構 t 統計量進行，令 A, B, C 分別是參數 a, b, c 的點估計量，針對 H' 對 K'，H" 對 K"，與 H 對 K 的假說檢定統計量分別是

t' = (A-B)/S(A-B),  t" = (B-C)/S(B-C)  與  t = (A-C)/S(A-C)

由於 A-C = (A-B) + (B-C) 而 S(A-C) ≦ S(A-B) + S(B-C)，故 t 不小於 t' 與 t" 的平均，而後者又不小於 t' 與 t" 的較小值。因此，在相同顯著水準又無需顧慮 t 統計量自由度的情形，t' 與 t" 都具顯著性蘊涵 t 也具顯著性，也就是說：

若接受 K': a > b 且接受 K": b > c，則將接受 K: a > c

換句話說，如果「拒絕虛無假說」解釋為「接受對立假說」，並且當作接受對立假說中的陳述，在上述成對參數值比較中，遞移律（性）成立。

如果統計量 t', t" 與 t 的自由度不同呢？以常態群體平均數利用獨立樣本比較而言，設三個樣本大小分別是 m, n, p，則

t' = (A-B)/[S√(1/m + 1/n)],  d.f. = m+n-2
t" = (B-C)/[S√(1/n + 1/p)],  d.f. = n+p-2
t = (A-C)/[S√(1/m + 1/p)],   d.f. = m+p-2

這裡假設工群體變異數相等，因此假設其樣本變異數相差不大，故採用相同的聯合估計 S^2。當三樣本近乎相等時，A-C 的標準誤估計近乎只有 A-B 與 B-C 之標準誤估計和的一半；若 n 相對於 m 和 p 是很大的，則「一半」提高至不超過71% (=1/√2)；另一方向若 n 相對地是較小的，則 A-C 的標準誤估計甚至比 A-B 與 B-C 之標準誤估計任一個都小。在自由度方面，當第二樣本的大小 n 為最大時，H 對 K 之檢定統計量 t 的自由度最小，但此時 t 比 t' 與 t" 都大了 40% 以上 (1/0.71 = 1.41)，除非 t 的自由度 m+p-2 賁在太小（例如：小於 5），否則在一般使採用的顯著水準之下，t' 與 t" 都超過臨界值則 t 亦將超越臨界值，也就是說

若接受 K': a > b 且接受 K": b > c，則亦將接受 K: a > c

遞移律大抵成立（除非 m, p 實在太小而 n 不小）。

如果對參數比較之檢定不以點估計量之差建構 t 統計量進行呢？考慮 H' 對 K' 與 H" 對 K" 的交集聯集檢定  (intersection-union test, IUT)：

接受 K°: a > b 且 b > c 當且僅當 K' 與 K" 都被接受

在「聯集交集檢定與交集聯集檢定」一文談過，如果 H' 對 K'  與 H" 對 K" 的檢定都是水準 α 的檢定，則 IUT 也是水準 α，只是其檢定大小 (size of the test) 可能有些差距，使得 IUT 的檢定力可能不是很理想。但 IUT 的對立假說 K°: a > b 且 b > c 蘊涵 K: a > c，所以 IUT 表示

若接受 K': a > b 且接受 K": b > c，則亦接受 K: a > c

不採用交集聯集檢定而採用與 H' 對 K' 與 H" 對 K" 相同的方法做 H 對 K 的檢定，或許因檢定程序的不同不能保證

接受 K': a > b 且接受 K": b > c，則接受 K: a > c

但這樣的情形佔樣本空間範圍應是不多，因為 H 對 K 的檢定比之 IUT 應是更具檢定力，也就是更容易接受 K 的，所以上列陳述大抵是成立的。

以上的討請說明：對於 H': a ≦ b 對 K': a > b，H": b ≦ c 對 K": b > c 與 H: a ≦ c 對 K: a > c 三個成對比較檢定，接受 K' 與 K" 大抵可得接受 K 的結論，也就是說接受 a > b 與 b > c 則大抵會接受 a > c，因此順序假說的遞移性成立，或說滿足遞移律。相對地，不拒絕 H': a ≦ b 與 H": b ≦ c 並不能保證不拒絕 H: a ≦ c，也就是說遞移性不能滿足。但 H', H" 與 H 三個關於參數 a, b, c 的大小順序假說本應符合遞移性的。同果說

接受 H': a ≦ b 與 H": b ≦ c 不能保證振受 H: a ≦ c

這在邏輯上說不通。因此，「不拒絕虛無假說」並不是「接受虛無假說」。