劉應興的部落格

有個抽卡系統，共58張卡，其中，有5張卡抽中的機率為1/108，有2張卡抽中的機率是1/216，剩下的卡抽中的機率為1/54。
在其中的任意10張做記號變成「記號牌」，一張一張抽牌且抽後放回，抽12次，請問：
  1. 至少出現1次記號牌的機率？
  2. 至少出現3次記號牌的機率？
  3. 恰出現1次記號牌的機率？
  4. 恰出現3次記號牌的機率？ 

這問題怎麼解？首先，「一張一張抽牌且抽後放回，抽12次」，所以這是一個二項分布機率問題，bin(12,p), 其中 p 是一次抽卡抽中有記號卡的機率。依問題描述，有三類卡，其數為 N(1) = 5, N(2) = 2, N(3) = 51; 假設有記號的卡在這三類卡中數量為 K(1), K(2), K(3), 三者總和為 10。則

p = (5/108)(K(1)/N(1)) + (2/216)(K(2)/N(2)) + (51/54)(K(3)/N(3))

若做記號是隨機的，則 (K(1), K(2), K(3)) 是三項超幾何分布分布隨機變數，其聯合 p.m.f. 為

f(K(1), K(2), K(3)) = C(N(1),K(1)) C(N(2),K(2)) C(N(3),K(3))/C(58,10)

在 (K(1), K(2), K(3)) 已知時，抽１２次恰有 k 次抽中有記號牌的條件機率是二項分布機率

b(k; 12, p) = C(12,k) p^k (1-p)^{12-k}

但 (K(1), K(2), K(3)) 既是隨機的，故所求機率實際上是上列二項分布機率對 (K(1), K(2), K(3)) 的機率分布再求期望值。