劉應興的部落格

先前看到的，可能是修課者的習題吧？

(1) 設 Mn → ∞ a.s.,  Xn → 0 a.s.  ==> X_Mn → 0 a.s.

(2) 設 Mn → ∞ in P.,  Xn → 0 a.s. ==> X_Mn → 0 in P.

首先，Mn → ∞ a.s. 的意思是：

存在事件 A，P{A} = 1, 當 s in A 時，
    　對任意 M* > 0, 存在 N(s) > 0, 使得
        　　只要 n ≧ N(s) 則 Mn(s) > M*..

而 Xn → 0 a.s. 的意思是

存在事件 B, P{B} = 1, 當 s in B 時,
      對任意 ε > 0, 存在 N(s) > 0, 使得
            只要 n ≧ N(s) 則 |Xn(s)| < ε

所以, s in A∩B 時,

對任意 ε > 0, 取 N1(s) 使得
        |Xn(s)| < ε for all n ≧ N1(s)
對於 N1(s), 取 N2(s) 使得
        Mn > N1(s) 當 n > N2(s)

也就是說：當 s in A∩B, n > N2(s) 時, 得

 |X_Mn(s)| < ε 　（因為 Mn(s) > N1(s)）

換句話說，當 s in A∩B 時，X_Mn(s) → 0。但

P{A∩B} = P{A} + P{B} - P{A∪B} = 1

因為 P{A} = 1 且 P{B} = 1，所以 P{A∪B} 也等於 1。所以，X_Mn → 0 a.s.

若 Mn 並未 → ∞ a.s. 而只是 in P，即：

lim_n P{Mn > M*} = 1  for all M*

設 s in B 時, 對任意 ε > 0, 存在 N(s) 使得 |Xn(s)| < ε 當 n ≧ N(s)。但前項敘述中 N(s) 和 s 有關, 不適合應用。對固定的 N 而言,

P[|X_Mn| < ε] ≧ P[Mn > N, |X_Mn| < ε]
　    =  P[Mn > N] - P[Mn > N, |X_Mn| ≧ ε]
　    =  P[Mn > N] - P(∪_{k > N}[Mn = k, |X_k| ≧ ε])
　    ≧ P[Mn > N] - P(∪_{k > N}[Mn = k, sup_{k>N}|X_k| ≧ ε])
　    ≧ P[Mn > N] - P[sup_{k>N}|X_k| ≧ ε]

但 Xn → 0 a.s. 則 sup_{k>N} X_k → 0 in P., 故

P[sup_{k>N}|X_k| ≧ ε] → 0  當 N → ∞, for all ε> 0

而 for all N, lim_n P[Mn > N] = 1, 故

lim_n P[|X_Mn| < ε] ≧ 1 - P[sup_{k>N}|X_k| ≧ ε] → 1

當 N → ∞。但左邊與 N 無關, 故得

P[|X_Mn| < ε] → 1  當 n → ∞

即 X_Mn 機率收斂於 0。