劉應興的部落格

本文要談的是一個小問題：條件機率 P{B|A} 和條件機率 P{B|X}（或 P{B|σ(X)}）意義上的差別。

條件機率的定義及說明見之於「 條件機率與條件期望值 」一文，不過該文較偏向於數學定義，但雖知道 P{B|A} 之類的條件機率就是機率，甚至固定 A 而 B  可允許是任意事件時，P{．|A} 變成在「新樣本空間」 A （之上的事件集）的一個機率分布（機率函數）。另一方面， P{B|X} 之類的條件機率，雖有機率之名與形（符合機率性質），本質卻是定義在樣本空間 S 上的實數值點函數，更明確地說，是把 S 上一點 ω 映至 [0, 1] 之一點的函數。為什麼會這樣？

考慮機率空間 (S, F, P) 上的一個事件 A，則 P{B|A} 是「如果已知 A 發生了，那麼事件 B 也發生的條件機率是多少？」它的意思有兩種：

其一：做一個隨機實驗，機率空間如上，已知事件 A 發生，問有這情報以後 B 事件發生的機率應如何評估？

其二：在前述機率空間先做一次隨機實驗，結果 A 事件發生；再做相同隨機試驗，但如果 A 不發生則作廢重做實驗，問結果 B 發生的機率。

以抽撲克牌為例，去除大小鬼牌則有 52 張牌。抽出一張，已知是紅心，在此情報下評估此牌是人像 (J, Q, K) 的機率。這是第一種情況，事件 A 是抽得的為紅心，事件 B 是抽得的為人像。在「已知 A 發生」之下談事件 B 的機率，則 P{B|A} 比單純的 P{B} 更適當。

若抽得紅心後，把牌放回，重新洗過。重新抽牌，若不是紅心，則放回再重新洗牌，重新抽牌，直至抽得的是紅心，問最後得的是人像的機率。還有另一個方式是：在第一次抽得紅心後，把紅心牌都挑出，洗勻，而後抽牌，問這樣操作下抽得的是人像的機率。

以上各種情形都導致條件機率的定義是

P{B|A} = P{B∩A}/P{A}

而其意義是：改以 A 為樣本空間來考慮機率。機率本就是事件與樣本空間之某種測度值的比較，因此樣本空間得 P{S} = 1，而稱之為必然事件；在條件機率則當 B 包含 A 時 P{B|A} = 1。從古典機率之機率設定、統計頻率之機率設定、以至於 Kolmogorov 以一般有限測度為基礎，條件機率 P{B|A} 之定義唯有如上定義式才合理，才符合一致性。而不管是一次實驗，或分段實驗，P{B|A} 都是把 A 當成所謂條件機率的新的樣本空間。

由事件 A，事實上可以導出一個事件族 A = {φ, A, A', S}, 它是 F 的事件子族。這裡稱「事件族」指它們 (F 和 A) 各自是一個 σ-體，或譯 σ-場。那麼，P{E|A} 是什麼意思？首先我們可以猜想：

P{E|A} 是不是代表 P{E|A}, P{E|A'} 呢？或加上 P{E|S} = P{E}？

同樣，由事件 A, B, 可以將 S 分割成 4 個部分：A∩B, A∩B', A'∩B, A'∩B'。依習慣，"∩" 符號可以省略，並且在運算順序上補集 (') 先於交集 (∩) 先於聯集 (∪)，則由 A, B 產生的最小事件族

Ｇ = {φ, A, A', B, B', AB, AB', A'B, A'B', AB∪A'B', A'B∪AB',
                                                  (AB)', (A'B)', (AB')', A∪B, S}

那麼 P{E|G} 是指給定 A, B 等由 A, B 之補集、交集與聯集所形成 15 個事件（除空事件 φ 以外）的條件機率嗎？這有兩點不妥：

1. 給定一個 σ-體 G, 或給定一個隨機變數 X，P{E|G} 或 P{E|X} 顯然意義上和給定一個事件 A 的條件機率 P{E|A} 不同，似乎也不合適看成是一堆給定某事件之條件機率的總體。

2. 給定一個 σ-體 G, 或給定一個隨機變數 X，其中所含的事件太多。例如前述由兩事件 A 與 B 得 S 分割成 4 個郭分，但卻產生了 15 個非空事件。

給定一個 σ-體 G, 或給定一個隨機變數 X，約略相當於對樣本空間 S 的分割。例如由 A, B 兩事件產生的 G 有 16 個成員，但它們實際上是由 S 的 4 個分割事件 AB, AB', A'B, A'B' 所構成。如果要用「給定某個事件的條件機率」來解釋「給定一個事件族訊息的條件機率」，我們是否可用「給定各個分割事件的各條件機率的整體」來解釋更好？

以前面的事件族 A = {φ, A, A', S} 為例，我們有下列「全機率」公式，或稱全機率定理：

P{E} = P{E|A} P{A} + P{E|A'} P{A'}

如果我們定義一個函數

f(ω) = P{E|A}  當 ω in A;  = P{E|A'}  當 ω in A'

則 f 是 A-可測函數

∫_A f dP = P{EA},   ∫_A' f dP = P{EA'},   ∫_S f dP = P{E}

類似地，如果  {A_1, A_2, ...} 是 S 上一個分割，分割中各 A_n 都有正機率，G 是此分割產生的 σ-體，定義

f(ω) = P{E|A_n}  當 ω in A_n, n = 1, 2, ...

則

(1) f 是 G-可測；

(2) 對任意 G-可測集 B, ∫_B f dP = P{EB}。

上面的例子涉及的 F 的子 σ-體都是由樣本空間被分割為可數個各具正機率的事件所產生的，因此我們可以有 P{E|A_n} 的定義，藉以定義一 G-可測函數 f，結果 f 在 G 中一事件 B 的積分會是 EB 的機率。如果 G 中除空事件外還有機率 0 事件呢？例如連續型隨機變數 X 所產生的 σ-體，其相應的樣本空間分割組成是像

{ ω in S:  X(ω) = x }

這樣的事件，其機率都是 0。因此，如前面由 P{E|A} 類的條件機率看 P{E|G} 是不夠的，我們必須有個方法，使條件機率的定義適用於任意隨機變數，或 F 的任意子 σ-體 G。於是我們把前述程序倒過來，並不由 P{E|A_n} 去定義 f(ω)，而是直接要求 f(ω) 這函數要滿足：

(1) f 是 G-可測

(2) 對任意 G-可測集 B, ∫_B f dP = P{EB}

然後把符合上列條件的 f(ω) 函數定義為 P{E|G}；當 G = σ(X) 時，P{E|σ(X)} 也寫成 P{E|X}。所以，P{E|X} 是定義在 S 的點函數。而在 [X = x] 這類事件有機率 0 出現時，P{E|X} 依上列條件並不能唯一定義，所以 P{E|X} 即使有機率之名和形，卻非真正的機率。