劉應興的部落格

所謂基本事件 (elementary event)，是只含單一樣本點的事件。不過，在一般性的樣本空間，單一樣本點構成的子集還不一定是一個事件，不一定可賦與機率。但如果樣本空間是在實數線 R 上，單點集或單元素集 (singleton) 確實是一個事件。

初學機率，多從單點集之機率開始，甚至有「機會均等」假設做為決定事件機率的方法，此時的樣本空間假設是有限的。但談到隨機變數，或談實驗可能結果無限多的情況，或者不再能保持機會均等假設，或者在所謂連續型機率分布會發現：怎麼單點機率都是 0？

事實上一般的樣本空間常是無限的，甚至不可數的，甚至其基數比實數線 R 來得高。因此，我有一個猜想：如果一個機率空間包含基本事件，則至多可數個單點事件有正的機率。

如果在機率空間上可定義一個實數值隨機變數，則僅有最多可數個 [X=x] 型的事件可以有正的機率。這是因 P[X=x] > 0 等同於 X 的分布函數在 x 點不連續。分布函數是一個單調增函數，微積分中的定理告訴我們：單調函數處處存在左極限和右極限，並且只可能在最多可數個點不連續，其不連續點都是跳躍的不連續。

假設一個機率空間有不可數個具正機率的基本事件，令 G 是這些基本事件形成的事件族，則由 G 可產生 (generate) 一個 σ-體。如果 G 和 R 等勢，也就是存在一對一且映成函數 X：如果 G 已經含蓋了所有樣本空間的點，也就是 ∪{A: A in G} = Ω (樣本空間) , 則 X 直接將 Ω 對應到 R；如果 G 沒有包含整個樣本空間，則 X 把不被 G 所含蓋的所有點映至 R 之同一點 a, 然後把 G 含蓋的所有點一對一對應到 R-{a}。如果這樣的 X 是一個隨機變數，那麼此機率空間含有不可數個具正機率的基本事件就和前面說的，僅有最多可數個 [X=x] 型的事件矛盾了。

實數值隨機變數是樣本空間到實數線的一個可測函數。從 Ω 到 R 的函數其實就是對 Ω 的一個分割，每個 [X=x] 型的事件就是此分割的一個成員。X 的分布只能有可數個不連續點，也就是 X 對 Ω 的分割只能有可數個成員事件具有正的機率。若有 k （正整數）個隨機變數對 Ω 做交叉分割，這許多分割成員仍只有可數個具有正機率。然而，如果考慮無窮多個隨機變數呢？哪怕只是一個無窮序列 X1, X2, ..., 我們卻似乎難以保證其所做的分割只有最多可數個分割成員具有正的機率；更甭談基本事件是否僅可數個可具有正的機率，所以前述猜想終究只是猜想。