劉應興的部落格

最近日本有人提出了一個論點：如果日本的婚後強制改姓制度不變更的話，大概 500 年後的 2531 年，全日本將只剩下一個姓：佐藤。這就是「2531佐藤問題」。

中國傳統只有男子才有真正的「姓」，女子只稱「氏」，但中國的姓氏並未趨於單一化，反而是愈來愈多元，當然這有因戰亂避罪等因而改姓之故；但如果是一個封閉社會（沒有遷入人口），又強制兒女從父姓（這才是關鍵，而非女子婚後從夫姓），是否時間夠長，就可能有些姓會消失，又最後會歸於單一姓？或者，這是因少子化問題才產生的結果？

假設一個地區某特定姓氏的人口比例是 p，其他姓氏人口比例是 q = 1- p。不考慮年齡、死亡等、離婚、再婚、不婚、生育數等等複雜因素，只考慮新的一代「最終」取代舊的一代，其姓氏比例如何變化。下一代是前述特定姓氏的，包括：是該特定姓氏的男性子代，及女性而結婚對像是該特定姓氏；而新一代非前項姓氏的男性，及女性與非該特定姓氏男性姑婚。假設沒有「同姓不婚」的限制，結婚對象姓氏同父代經姓氏分布。則新一代姓氏為指定該特定姓氏比例是

p' = p(1/2) + (p/2+q/2)p = p

相對地新一代非特定姓氏比例是 q' = q(1/2) + (1/2)q = q。式中假設了男性比例是 1/2；而 p/2 + q/2 是特定姓氏之新一代女性，加上非特定姓氏下一代女性。由上可知：如果結婚對象姓氏同全一代男女姓氏分布，則新一代姓氏分布與上一代姓氏分布相同。不過，古有同姓不婚之禁忌，若如此，在姓氏不只兩種（事實）情況下，假設各姓氏（上一代）比例分布是 p_i, i = 1, ..., m，婚姻對象依「同姓以外之姓氏分布」，則

p'_i = p_i(1/2) + Σ_{j≠i} p_j(1/2) p_i/(1-p_j)

上式意為：新一代是第 i 姓的比例，包拈其父代是第 i 姓的男子，加上父代非第 i 姓女子與第 i 姓男子結婚者。上式亦可表達為

p'_i = (p_i/2) [ 1 + Σ_{j≠i} p_j/(1-p_j) ]

不難驗證 Σ_i p'_i = 1，但 p'_i ≠ p_i。然而，例如 m = 3, p_i = 0.5, 0.3, 0.2, 則 p'_i = 0.4196, 0.3375, 0.2429, 原來 p_i 最高的雖然仍然保持最高，但其佔比卻降低了；而原來佔比最低的雖然依舊最低，其新一代佔比卻是增加最多的，不論從絕對增幅來看或相對增加率來看都比居中的來得高。再例如 m = 4, p_i = .4, .3, .2, .1, 則 p'_i = .3579, .3042, .2206, .1173，如同前一個例子，新一代比老一代的姓氏分布更趨於平均。因此，我們可以猜測在父權社會，妻隨夫姓或冠夫姓，子女隨父姓，在長久下去姓氏分布應趨於平均而非趨於單一。回到一般式，令 A = Σ_j p_j/(1-p_j)，則

p'_i = (p_i/2) [1 + A - p_i/(1-p_i)]
p'_i - p_i = (p_i/2) [(A-1) - p_i/(1-p_i)]

由於 Σ_j p_j = 1, 諸 p_j 假設都是正數，因此 A > 1, 但 p_i  大時 p_i/(1-p_i) 也大，使得 A-1 比它小，因此 p'_i < p_i；反之，p_i 小時 A-1 可能大於 p_i/(1-p_i)，因此 p'_i > p_i。當 p_i 愈小，則

(p'_i - p_i)/p_i = [(A-1) - p_i/(1-p_i)]/2

愈大。也就是說：當 p_i 愈大，p'_i 比之 p_i 愈傾向於減少，而且 p_i 愈大相對減少率愈大；反之，p_i 較小的，p'_i 較之 p_i 將可能增加，p_i 愈小則 p'_i 相對增加率愈大。如果 p_i ≡ 1/m，所有姓氏人口布相同佔比，則 p_j/(1-p_j) ≡ 1/(m-1), A = m/(m-1), p'_i = p_i，也就是說：如果某一代姓氏分布是均勻的，則往後各子代的姓氏分布也是均勻的。反之，若姓氏分布不均勻，

p'_i - p'_j = (p_i - p_j) (1+A)/2 - [(p_i)^2/(1-p_i) - (p_j)^2/(1-p_j)]/2

令 f(t) = t(1+A)/2 - t^2/[2(1-t)]，則 p'_i - p'_j = f(p_i) - f(p_j)。求 f(t) 的導數得

f'(t) = (1+A)/2 - t/(1-t) - t^2/[2(1-t)^2]

在 (0,1) 之內使 f'(t) = 0 的唯一點是 t =1 - 1/√(2+A)。但 A = Σ_i p_i/(1-p_i) < 2, 事實上如果所有 p_i 都小於 0.2，則 A < 1.25，也就是說 t 在 [0, 0.5] 範圍內 f(t) 都是嚴格遞增的，因此 p'_i 保持了 p_i 的大小順序。於是，不失一般性，假設 p_1 ≧ p_2 ≧ … ≧ p_m，初代的姓氏分布為 p_i^(1), 第 n 代為 p_i^(n)，則 {p_1^(n)} 是下降序列而 {p_m^n)} 是上升序列。它們都有界 p_1^(n) ≧ p_m^(n')，所以都收斂。而由上面的討論，若 p_1^(n) > p_m^(n)，則下一代 p_i^(n+1) 彼此會更接近，所以

lim_n p_i^(n) = 1/m,  all i

也就是說：在前面關於「姓」的假設下，姓氏的分布，在歷經無數代的傳承中，逐漸趨於平均分布，而不是歸於一姓。

上面沒有涉及生育率問題，係假設一代一代傳承不會消失。但維持一代代傳承不絕的總生育率大約需要 2.1，也就是說平均一對夫妻一生生育 2.1 個小孩，怡好取代上一代，有相近的人口大小。而實際上台灣 2022 年的總生育率僅 0.87，遠低於替代水準；日本較台灣高出不少，也只有 1.26，仍遠低於替代水準。假設每傳承一代人口縮減為僅有 r 比例的人口，以日本前述數據為例，r 約 1.26/2.1 = 0.6，故某一代人口 N，第 i 姓的人口數為 N p_i，則下代人口數為

Nr p'_i = Nr (p_i/2) [(1 + A - p_i/(1-p_i)]

雖然第 i 姓期望人口數 Nr p'_i，佔總人口 Nr 的比例 p'_i 趨於平均，但期望值或機率只是理論值，如果某一性佔比 p_i(1) 相對較小，雖然 p_i^(n) 上升，但總人口 Nr^{n-1} 在減少，首先是較稀有的姓可能消失了；接著次稀有的姓消失了。在人口銳減的趨勢下，佔比較少的姓可能在平均效果發揮之前就消失了。不過，要使一個姓消失，除了 p_i^(n) 相當小以外，也要那一代的總人口 Nr{n-1} 夠小，使得該姓期望人口數 Nr^{n-1}p_i^(n-1) 小至只有例如個位數，甚至只有 1-2。很難想像這種現象發生在除某特定姓氏如「佐藤」以外的所有姓氏！若真如此，可能連「佐藤」也不在了？或者，因機率的關係，如「田中」之類的姓早就超過原來的第一大姓「佐藤」，畢竟前面說在傳承過程，姓氏佔比順序不變只是「期望」的結果，而在代代傳承中各姓佔比趨於平均，隨機的作用很容易使佔比雖較小但很接近的姓反超。以此觀之，與其煩惱歸於一姓的問題，不如煩惱人口衰退的問題。

筆者不曾看，也看不懂原日本研究報告，不知其假設究竟，只是以台灣「冠姓」規矩設定假設條件，依所定假設，不應該有歸於一姓問題，倒是小姓壯大而大姓縮減，趨於平均。或者本文假設不對，或者推理有誤？不得而知！